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1、分式方程典型例题例1指出以下方程哪些是整式方程,哪些是分式方程,并说出它们的区别. 是未知数例2满足方程的的值是 A1 B2 C0 D没有例3解方程 例4解方程 例5当为何值时,关于的方程的解等于零?例6为何值时,关于的分式方程的解为零?例7把以下公式进展变形:1,求;2,求. 例8为何值时,关于的方程会产生增根?例9分式方程有增根,求的值. 例10解方程组参考答案例1解答 整式方程为: 分式方程为: 它们的主要区别在于:分式方程的分母中含有未知数. 说明 根据定义,把握分母中是否含有未知数这一特征来判断.例2分析 用验证法比用直接法简便. 当或时,方程中均有1个分式无意义,所以与不是所求的值
2、. 当时,方程的左右两边相等. 解答 C说明 考察分式方程的解法. 例3解答 原方程变形为方程两边都乘,约去分母,得,解这个整式方程,得检验:当时,是增根,原方程无解说明 分式方程一定要注意验根例4分析 去分母时,把看做整体处理 解答 方程两边都乘,约去分母,得,分数线起着扩号的作用解这个整式方程,得检验:当时,是原方程的解说明 解分式方程的思路一般为:抓形式特点整体处理转化为整式方程解整式方程检验得解例5解答 方程的两边都乘以,得,整理,得当时,方程有惟一解. 设,则,故. 综上,当时,原方程的解等于零. 说明 考察分式方程的解法. 例6分析一 由方程解的定义,将代入方程便可求出值. 解答一
3、,故原方程化为解此分式方程,得 . 经检验知是原方程的解. 时,方程的解为零. 分析二 解关于的分式方程,求出用表示的关系后,令,求出,此法较复杂. 解答二 方程两边都乘以最简公分母,约去分母,得解关于的整式方程得 ,检验:当时, 当时,方程的解为零. 例7分析 公式变形从实质上看就是解含有字母数的分式方程. 它的解法和含数字数的分式方程是一样的. 一般情况,公式变形不必检验. 1题中,是未知数,是字母数;2题中是未知数,是字母数. 解答1两边都乘以,得,即,两边都除以,得2移项,两边都除以,得例8分析 增根是分式方程去掉分母后的整式方程的根,但又使原方程的分母为0. 解答 方程两边都乘以,得
4、,整理,得. 当时,. 如果方程产生增根,则,即或1假设,则,故. 2假设,则,故例9分析 这是含有参数字母的分式方程,是未知数,我们把看做“暂时常数,并考虑增根的条件解出来. 解答 原方程可化为,即 ,假设,则,当时,说明 这是一道含有参数字母的分式方程. 如果把求出分式方程的增根作为正向思维的话,此题则是是增根,要求求出分式方程中的参数,显然具有考察逆向思维的功能. 因而,其求解步骤为:求令取增根值解. 例10解答 把分别看做一个整体,运用换元法设,则原方程可化为:,得,代入1中,得. 即经历证是原方程组的解. 说明 换元法是一种重要的数学方法,通过换元不但可使方程组、方程及解答变得简单,还可使解题思路清晰明了. 此题运用了整体思想和换元法,有化难为易之妙.