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1、必修4 平面向量知识点小结一、向量的根本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1 ，如此把向量按向量平移后得到的向量是_. 结果：2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量与共线的单位向量是；4.相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量也叫共线向量：方向一样或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一
2、定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！因为有)；三点共线共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.举例2 如如下命题：1假如，如此.2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样.3假如，如此是平行四边形.4假如是平行四边形，如此.5假如，如此.6假如，如此.其中正确的答案是. 结果：45二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴
3、、轴方向一样的两个单位向量为基底，如此平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标一样.三、平面向量的根本定理定理 设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，如此存在唯一实数对，使.1定理核心：；2从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.3向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解举例3 1假如，如此. 结果：.2如下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.， B.， C.， D.，3分别是的边，上的中线,且，,如此可用向量表示为. 结果：.4中，点在边上，且，如此的值是. 结果：
4、0.四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：1模：；2方向：当时，的方向与的方向一样，当时，的方向与的方向相反，当时，注意：.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量，作，如此把称为向量，的夹角.当时，同向；当时，反向；当时，垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积或内积或点积，记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 1中，如此_. 结果：.2，与的夹角为，如此 _. 结果：1.3，如此_. 结果：.4是两个非零向量，且，如此与的夹角为_. 结果：.在
5、向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 ，且，如此向量在向量上的投影为_. 结果：.4.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，如此：1；2当、同向时，特别地，；是、同向的充要分条件；当、反向时，是、反向的充要分条件；当为锐角时，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.3非零向量，夹角的计算公式：；.举例6 1，如果与的夹角为锐角，如此的取值X围是_. 结果：或且；2的面积为，且，假如，如此，夹角的取值X围是_. 结果：；3，且满足其中.用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小.
6、 结果：；最小值为，.六、向量的运算1向量加法运算法如此：平行四边形法如此；三角形法如此.运算形式：假如，如此向量叫做与的和，即；作图：略.注：平行四边形法如此只适用于不共线的向量.2向量的减法运算法如此：三角形法如此.运算形式：假如，如此，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点一样.举例7 1化简：；. 结果：；2假如正方形的边长为1，如此. 结果：；3假如是所在平面内一点，且满足，如此的形状为. 结果：直角三角形；4假如为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，如此的值为. 结果：2；5假如点是的外心，且，如此的内角为. 结果：.2.坐标运算：设，如此1向
7、量的加减法运算：，.举例8 1点，假如，如此当_时，点在第一、三象限的角平分线上. 结果：；2，且，如此.结果：或；3作用在点的三个力，如此合力的终点坐标是. 结果：.2实数与向量的积：.3假如，如此，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设，且，如此的坐标分别是_. 结果：.4平面向量数量积：.举例10 向量，.1假如，求向量、的夹角；2假如，函数的最大值为，求的值.结果：1；2或.5向量的模：.举例11 均为单位向量，它们的夹角为，那么. 结果：. 6两点间的距离：假如，如此.举例12 如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的
8、：假如，其中分别为与轴、轴同方向的单位向量，如此点斜坐标为.1假如点的斜坐标为，求到的距离；2求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程.结果：12；2.七、向量的运算律1.交换律：，；2.结合律：，；3.分配律：，.举例13 给出如下命题：； 假如，如此或；假如如此；.其中正确的答案是. 结果：.说明：1向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；2向量的“乘法不满足结合律，即，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件.举例14
9、(1)假如向量，当_时，与共线且方向一样. 结果：2.2，且，如此. 结果：4.3设，如此 _时，共线. 结果：或11.九、向量垂直的充要条件.特别地.举例15 (1)，假如，如此.结果：；2以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，如此点的坐标是.结果：(1,3)或3，1；3向量，且，如此的坐标是.结果：或.十、线段的定比分点1.定义：设点是直线上异于、的任意一点，假如存在一个实数 ，使，如此实数叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点.2.的符号与分点的位置之间的关系1内分线段，即点在线段上；2外分线段时，点在线段的延长线上，点在线段的反向延长线上.注：假如点分有向线段所成的
10、比为，如此点分有向线段所成的比为.举例16 假如点分所成的比为，如此分所成的比为. 结果：.3.线段的定比分点坐标公式：设，点分有向线段所成的比为，如此定比分点坐标公式为. 特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式说明：1在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.2在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.举例17 1假如，且，如此点的坐标为. 结果：；2，直线与线段交于，且，如此. 结果：或.十一、平移公式如果点按向量平移至，如此；曲线按向量平移得曲线.说明：1函数按向量平移与平常“左加右减有何联系？2向量平移具有坐
11、标不变性，可别忘了啊！举例18 1按向量把平移到，如此按向量把点平移到点_. 结果：；2函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，如此_. 结果：.十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：.1右边等号成立条件：同向或中有；2左边等号成立条件：反向或中有；3当不共线.在中，假如，如此其重心的坐标为.举例19 假如的三边的中点分别为、，如此的重心的坐标为.结果：.“三心的向量表示1为的重心，特别地为的重心.2为的垂心.3为的内心；向量所在直线过的内心.分有向线段所成的比向量形式设点分有向线段所成的比为，假如为平面内的任一点，如此，特别地为有向线段的中点.7. 向量中三终点共线存在实数，使得且举例20 平面直角坐标系中，为坐标原点，两点，假如点满足,其中且,如此点的轨迹是. 结果：直线.
