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1、专题六,辅助圆在解题中的应用,在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相关知识来解决问题,这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：,模型一定点定长作圆型,模型二点圆最值,模型三线圆最值,模型四直径对直径,模型五定弦对定角(非90),模型六四点共圆,平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图),模型分析,模型一定点定长作圆型,图,推广：如图，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将BEF沿EF折叠得到BEF，则点B的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧,图,专题六,辅助圆在解题中的应用
2、,针对训练,1. 如图，已知点O，点C，且线段OC3，点A、B是平面内的动点，且OA2，BC4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹,第1题图,解：如解图，点A的运动轨迹为O，点B的运动轨迹为C.,第1题解图,专题六,辅助圆在解题中的应用,2. 如图，已知平行四边形ABCD，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将AEF沿EF折叠得到AEF，请在图中画出点A在平行四边形ABCD内(含边上的点)的运动轨迹,解：如解图，点A的运动轨迹为以点E为圆心，AE长为半径的E的劣弧MN上,第2题解图,第2题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,平面内一定点D和O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大
3、值和最小值具体分以下三种情况讨论(规定ODd，O半径为r)：() 若D点在O外时，dr，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为_，DE的最小值为_；,模型分析,模型二点圆最值,图,d+r,d-r,图,专题六,辅助圆在解题中的应用,() 若D点在圆上时，d=r，如图：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为_，DE的最小值为_；,图,dr2r(即为O的直径),dr0(点D、E重合),图,图,() 若D点在O内时，dr，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为_，DE的最小值为_.,dr,rd,专题六,辅助圆在解题中的应用,针对训练
4、,3. 如图，O、C，OC5，点A、B分别是平面内的动点，且OA4，BC3，则OB长的最大值为_，OB长的最小值为_，AC长的最大值为_，AC长的最小值为_，AB长的最大值为_，AB长的最小值为_,第3题图,8,2,9,1,12,0,专题六,辅助圆在解题中的应用,4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长的最小值为_,第4题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,() 如图，AB为O的一条定弦，点C为圆上一动点(1)如图，若点C在优弧AB上，当CHAB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距
5、离，此时ABC的面积最大； (2)如图，若点C在劣弧AB上，当CHAB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时ABC的面积最大,模型分析,模型三线圆最值,图,图,专题六,辅助圆在解题中的应用,() 如图，O与直线l相离，点P是O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是_(如图)，点P到直线l的最大距离是_(如图),图,图,d-r,d+r,专题六,辅助圆在解题中的应用,针对训练,5. 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边
6、AB距离的最小值是()A. 1B. 1.2C. D. 5,第5题图,B,专题六,辅助圆在解题中的应用,6. 如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则AOP面积的最大值为_,第6题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,() 半圆(直径)所对的圆周角是90. 如图，在ABC中，C90，AB为圆O的直径() 90的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)如图，在ABC中，C90，点C为动点，则点C的轨迹圆是_,模型分析,模型四直径对直径,图,图,以AB为直径的圆O(不包含A、B两点),专题六,辅助圆在解题中
7、的应用,针对训练,7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使BPC90的所有点P.,第7题图,解：如解图，点P1、P2即为所求点,第7题解图,专题六,辅助圆在解题中的应用,8. 如图，已知在RtABC中，AC5，BC12，ACB90，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且CPQ90，求线段CQ的取值范围_,第8题图,CQ12,第9题图,9. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，BDDC，若AD2，BC4，则四边形ABCD面积的最大值是_,6,专题六,辅助圆在解题中的应用,固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)也叫定弦定角，那么这个角的顶点轨迹为圆(一部分)(1)如
8、图，在O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；,模型分析,模型五定弦对定角(非90),图,专题六,辅助圆在解题中的应用,图,(2)如图，若有一固定线段AB及线段AB所对的C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，至于点C是优弧还是劣弧取决于C的大小，小于90，则C在优弧上运动；等于90，则C在半圆上运动；大于90则C在劣弧上运动,专题六,辅助圆在解题中的应用,针对训练,10. 如图，已知四边形ABCD.(1)如图，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使APB30的所有点P；,图,解：(1)如解图所示，
9、P1、P2在以点O为圆心，AB长为半径的圆上，点P1、P2即为所求；,解图,专题六,辅助圆在解题中的应用,(2)如图，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使APB60的所有点P；,图,(2)如解图所示，先画BP2C为等边三角形，再画BP2C的外接圆，则P1，P3在BP2C的外接圆上，点P1、P2、P3即为所求；,解图,专题六,辅助圆在解题中的应用,(3)如图，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使APB45的所有点P；,图,(3)如解图所示，P1、P2、P3、P4即为所求，其中AOB90.,解图,专题六,辅助圆在解题中的应用,11. 如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角
10、线，ABC60.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_(请在图中画出点P的运动路径),第11题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,12. 如图，AOB45，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为直角边作等腰RtCDE，且CDCE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE长的最大值为_cm.(请在图中画出点O的运动路径),第12题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,() 如图、，RtABC和RtABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OCODOAOB，A、B、C、D四点共圆，共斜边的两个
11、直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一,模型分析,模型六四点共圆,图,图,专题六,辅助圆在解题中的应用,() 圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180，可考虑作它的外接圆解题如图，四边形ABCD中，满足ABCADC180，四边形ABCD的外接圆为O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点),图,专题六,辅助圆在解题中的应用,针对训练,13. 如图，在ABC中，ABC90，AB3，BC4，O为AC的中点，过点O作OEOF，OE、OF分别交AB、BC
12、于点E、F，则EF的最小值为_,第13题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,14. 如图， 如图，ABC是等边三角形，D为BC边上一点，ADE60，DE交ACB的外角平分线于点E，求证：ADDE.,第14题图,证明：如解图，连接AE，ADEACE60，A，D，C，E共圆，AEDACB60，又ADE60，ADE是等边三角形，ADDE.,专题六,辅助圆在解题中的应用,第13题图,专题六,辅助圆在解题中的应用,【解析】如解图，PECPDC90，故四边形PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，EOD2ECD120，故EDR，要使得DE最小则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当CPAB时，PC最小,15.如图，在等边ABC中，AB6，点P为AB上一动点，PDBC于点D，PEAC于点E，则DE的最小值为_9/2_,综合训练,
