《计算电磁学》第七讲ppt课件.ppt

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1、2022年11月7日4时54分,1,计算电磁学第七讲,Dr. Ping DU (杜平),E-mail: ,School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT),Nov. 10, 2011,基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法ADI-FDTD法,2022年11月7日4时54分,2,Outline,II. ADI-FDTD基本原理,III. 解的稳定性与数值色散,IV. 吸收边界条件,V. 应用实例,I. ADI-FDTD简介,2022年11月7日4时54分,3,7.1 A

2、DI-FDTD简介,传统FDTD属于显式差分方法，具有显式差分方法的共同特性，解的过程必须满足稳定性条件。对FDTD法就是必须满足CFL条件。,隐式差分格式总是稳定的，其时间步长仅受到数值误差的限制。然而，隐式差分也有缺点，那就是需要通过矩阵求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂且量大。,1956年，Peaceman和Rachford提出了交变隐式差分方向法(Alternating-Direction Implicit Method, ADI法)。,其基本思想：,然后，交换隐式和显式差分格式处理的变量方向。,对于空间变量为多维的偏微分方程，首先选取任一变量方向按隐式差分格式处理而余下的变量方向

3、按显式差分格式处理。,对每一步来说，解仍然是有条件稳定的。但是两步复合的结果使得解是无条件稳定的。,(1) Difference between and conventional FDTD and ADI-FDTD,2022年11月7日4时54分,4,ADI最早应用于抛物型偏微分方程的求解。,1999年，T. Namiki首先将其原理应用于FDTD法，提出了ADI-FDTD，并将其用于二维TE波问题的模拟。,G. Liu研究了Berenger的PML媒质中的ADI-FDTD差分格式。,C. P. Chen报道了ADI-FDTD法在VLSI互连线电磁特性模拟方面的应用。,这些结果初步显示ADI-

4、FDTD法相对于传统FDTD法的优势。,(2) ADI-FDTD法的早期历史,2022年11月7日4时54分,5,7.2 ADI-FDTD基本原理,考虑空间为一个无源区域，其媒质参数不随时间变化且各向同性，Maxwell旋度方程在直角坐标系中写成分量式为,(1) ADI-FDTD差分格式I,(7-1),(7-2),(7-3),2022年11月7日4时54分,6,(7-4),(7-5),(7-6),在ADI-FDTD算法中，仍旧采用Yee矩形差分网格。E和H的6个分量如图4-1所示放置。每个磁场分量由4个电场分量环绕；反之，每个电场分量也由4个磁场分量环绕。,空间偏微分仍旧采用中心差分格式。方程

5、左边的时间偏微分项仍旧采用中心差分格式，左边第二项采用半步长前向近似格式。,ADI-FDTD与传统FDTD区别: 对Maxwell旋度方程右边的时间离散化处理不同。,2022年11月7日4时54分,7,图4-1 Yee差分网格(Yees cell),2022年11月7日4时54分,8,过程一,Maxwell旋度方程右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式。,(7-7),2022年11月7日4时54分,9,(7-8),(7-9),2022年11月7日4时54分,10,(7-10),(7-11),2022年11月7日4时54分,11,过程二,(7-12),Maxwell旋度方程右边第一项

6、采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式。,2022年11月7日4时54分,12,(7-13),(7-14),2022年11月7日4时54分,13,(7-15),(7-16),2022年11月7日4时54分,14,(7-17),(7-18),2022年11月7日4时54分,15,在过程一中，将式(7-12)的 代入式(7-7)，将式(7-10)的 代入式(7-8),将式(7-11)的 代入式(7-9)，可得,其中，,(7-19),2022年11月7日4时54分,16,其中，,(7-20),2022年11月7日4时54分,17,其中，,(7-21),2022年11月7日4时54分,18,过程一执

7、行过程：,1. 由式(7-19)-(7-21)解出,2. 将其代入到式(7-10)-(7-12)，求得,线性方程组(7-19)-(7-21)是三对角型的，通过Gauss elimination法可以求得解。其计算量正比于未知量的数目N。,2022年11月7日4时54分,19,相似地，在过程二中，将式(7-18)的 代入式(7-13)、(7-16)的 代入式(7-14)、(7-17)的 代入式(7-15)，可得,其中，,(7-22),2022年11月7日4时54分,20,其中，,(7-23),2022年11月7日4时54分,21,其中，,(7-24),2022年11月7日4时54分,22,过程二

8、执行过程：,1. 由式(7-22)-(7-24)解出,2. 将其代入到式(7-16)-(7-18)，求得,线性方程组(7-22)-(7-24)是三对角型的，通过Gauss elimination法可以求得解。其计算量正比于未知量的数目N。,过程一和过程二交替执行，可实现对电磁场问题的时间步进仿真。,由上述过程可见，ADI-FDTD需要对电场分量进行两层存储，对磁场分量只需一层存储，因而内存占用比传统FDTD增加50%。ADI-FDTD公式比传统FDTD要复杂些。,但是， ADI-FDTD是无条件稳定的，比传统FDTD有更广泛的适应能力。,2022年11月7日4时54分,23,(2) ADI-F

9、DTD差分格式 II,(continued),如果在处理Maxwell旋度方程左边的第二项时不采用半步长前向近似格式而采用中心平均近似，则可得另一种形式的ADI-FDTD差分格式。,过程一 与方程(7-19)相对应的 的三对角型方程为,(7-25),2022年11月7日4时54分,24,其中，,(7-26),(7-27),(7-28),2022年11月7日4时54分,25,(7-29),(7-30),(7-31),2022年11月7日4时54分,26,(7-32),(7-33),(7-34),2022年11月7日4时54分,27,(7-35),与式(7-20)、(7-21)相对应的 、 的方程

10、可相似得到。,由三对角方程组解出 、 、 后, 代入 、 、 的差分格式可刷新磁场,其中， 的差分格式为,(7-36),2022年11月7日4时54分,28,其中，,(7-37),(7-38),、 的差分格式可类似得到。,Homework： 、 的三对角型方程、 、 的差分格式。,2022年11月7日4时54分,29,过程二 与方程(7-22)相对应的 的三对角型方程为,(7-39),2022年11月7日4时54分,30,(7-40),(7-41),(7-42),其中，,2022年11月7日4时54分,31,(7-43),(7-44),(7-45),2022年11月7日4时54分,32,(7-

11、46),(7-47),(7-48),2022年11月7日4时54分,33,(7-49),与式(7-23)、(7-24)相对应的 、 的方程可相似得到。,由三对角方程组解出 、 、 后，代入 、 、 的差分格式可刷新磁场。,的差分格式为,(7-50),2022年11月7日4时54分,34,其中，,(7-51),(7-52),、 的差分格式可类似得到。,Homework：推导出 、 的三对角型方程、 、 的差分格式。,2022年11月7日4时54分,35,III 解的稳定性与数值色散,二维、三维的ADI-FDTD有需要考虑稳定性问题。我们只讨论二维情形。,以无耗媒质中的二维TE波为例来讨论ADI-

12、FDTD差分格式的稳定性问题。,在这种情况下，设场不随y坐标变化， 场分量只有 ，,相对于y为TE波。,过程一和过程二各自简化为如下所示。,过程一,(7-53),2022年11月7日4时54分,36,(7-54),(7-55),过程二,(7-56),2022年11月7日4时54分,37,(7-57),(7-58),2022年11月7日4时54分,38,应用冯诺依曼方法来分析上述一、二复合过程的稳定性。,将下列平面波本征模代入过程一的式(7.53)(7.55)，,(7-59),(7-60),(7-61),其中， ， 是过程一的增长因子，可以得到下列关系，,2022年11月7日4时54分,39,(

13、7-62),由该齐次方程组有非零解的条件，系数行列数为零，可得,(7-63),其中，,(7-64),(7-65),2022年11月7日4时54分,40,过程一的增长因子可由式(7-63)解出为,(7-66),相似地，将下列平面波本征模代入过程二的式(7.56)(7.58)，,(7-67),(7-68),(7-69),其中， 是过程二的增长因子，可以得到下列关系，,2022年11月7日4时54分,41,(7-70),由该齐次方程组有非零解的条件，系数行列式为零，可得,(7-71),则过程二的增长因子为,(7-72),2022年11月7日4时54分,42,因此，过程一和过程二的复合增长因子为,(7

14、-73),其模为,(7-74),所以，二维TE波的ADI-FDTD差分格式是无条件稳定的。,与上面证明过程类似，二维TM波的ADI-FDTD差分格式也是无条件稳定的。,三维ADI-FDTD差分格式也是无条件稳定的，此处不再证明,2022年11月7日4时54分,43,IV. 吸收边界条件,ADI-FDTD中吸收边界条件选取原则：吸收边界条件的引入不能破坏时间步进过程的无条件稳定性。,主要有三种方案：,(1) Mur吸收边界条件；,(2) 在普通FDTD全局粗网格中嵌套ADI-FDTD局部细网格，仿真截断边界位于普通FDTD区，吸收边界条件的处理与普通FDTD法相同；,(3) 采用ADI-FDTD

15、差分格式的PML媒质。,下面介绍第三种方案：Gedney的PML媒质中的ADI-FDTD格式,2022年11月7日4时54分,44,不失一般性，设PML媒质与FDTD仿真区域的分界面为z=const平面，仿真区媒质无耗。,PML媒质中的电磁场满足式(5-177)、(5-188)，写成时域分量表达式为,(7-75),(7-76),(7-77),2022年11月7日4时54分,45,(7-78),(7-79),(7-80),其中， 和 满足匹配条件,(7-81),2022年11月7日4时54分,46,和 分别满足,(7-82),(7-83),写成差分式为,(7-84),(7-85),2022年11

16、月7日4时54分,47,方程(7-75)-(7-80)的ADI-FDTD算法由两个过程组成。,过程一:,方程(7-75)-(7-80)右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式。,(7-86),2022年11月7日4时54分,48,(7-87),(7-88),2022年11月7日4时54分,49,(7-89),(7-90),2022年11月7日4时54分,50,(7-91),过程二,方程(7-75)-(7-80)右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式.,(7-92),2022年11月7日4时54分,51,(7-93),(7-94),2022年11月7日4时54分,52,(7

17、-95),(7-96),2022年11月7日4时54分,53,(7-97),在过程一中，将式(7-85)、(7-91)的 、 代入式(7-86)，经整理得,2022年11月7日4时54分,54,(7-98),其中，,，,2022年11月7日4时54分,55,将式(7-89)的代入式(7-87)，经整理得,(7-99),2022年11月7日4时54分,56,其中，,，,将式(7-90)的代入式(7-84)，经整理得,(7-100),2022年11月7日4时54分,57,其中，,，,实际的执行过程：,(2) 将其代入式(7-89)(7-91)、(7-85)，求得 、 、,注意：线性方程组(7-98

18、)(7-100)是三对角型系统，通过高斯消元法可求得其解，其计算量正比于N，N为未知量数目。,(1)由式(7-98)(7-100)、(7-84)解出 、 、,2022年11月7日4时54分,58,(7-101),其中，,，,2022年11月7日4时54分,59,将式(7-85)、(7-87)的 、 代入式(7-93)，可整理得,(7-102),2022年11月7日4时54分,60,其中， ，,将式(7-95)、(7-84)的 、 代入式(7-94)，可整理得,(7-103),2022年11月7日4时54分,61,其中， ， .,执行过程二步骤：,(1)首先由式(7-101)(7-103)、(7-84)解出 、 、,(2)将其代入式(7-95)(7-97)、(7-85)，求得 、 、,注意：线性方程组(7-101)(7-103)是三对角型系统，通过高斯消元法可求得其解，其计算量正比于N，N为未知量数目。,2022年11月7日4时54分,62,可以看出，在PML中采用ADI-FDTD算法，计算公式相当复杂。如果仿真区域是有耗媒质，则更加复杂。,因而对于ADI-FDTD算法来说，需要研究和采用新的高效、实用的吸收边界条件。,2022年11月7日4时54分,63,Thank you very much!,2022年11月7日4时54分,64,