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1、,第一节 常数项级数的概念和性质,第十一章 无穷级数,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散:,当 n 无限增大时, 如果级数 的部分和数列 有 极限 s , 即 则称无穷级数 收敛 , 这时极 限 s 叫做级数 的和. 并写成,如果 没有极限 , 则称无穷级数 发散 .,余项,即 常数项级数收敛(发散) 存在(不存在),即 误差为,例1 讨论等比级数(几何级数) 的收敛性 .,解,收敛,发散,发散,发散,综上可得:,已知级数为等比级数 ,例2 判别无穷级数 的收敛性.,解,解,例3 判别无穷级数 的收敛性 .,解,等比级数,例4 试把循环小数
2、 表示成分数 的形式 .,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数 , 敛散 性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 .,3. 无穷级数的基本性质,性质1 如果级数 收敛 , 则 亦收敛 .,性质2 设两收敛级数 则级数 收敛 , 其和为,解,例5 求级数 的和 .,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数 的敛散性.,性质3 若级数 收敛 , 则 也收敛 . 且 其逆亦真.,证明,性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原 来的和.,注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 .,收敛,发散,推论 如果加括弧后所成的级数发散 , 则原来级数也 发散 .,证明,级数收敛的必要条件是:,4. 收敛的必要条件,级数收敛,注意:,1. 如果级数的一般项不趋于零 , 则级数发散 ;,发散,2. 必要条件不充分 .,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论 , 调和级数发散 .,另证,本节结束,
