《传热学导热问题的数值解法ppt课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《传热学导热问题的数值解法ppt课件.pptx（31页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第四章导热问题的数值解法,主讲人：孙晴,本章知识结构,2,4.1 导热问题数值求解的基本思想,3,数值解法的基本思想:,用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题。 通过对各离散节点建立代数离散方程，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。,4,数值解法的基本内容与步骤:,（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，建立控制方程及定解条件。,（2）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为
2、中心的子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域的温度。,（3）建立节点温度代数方程。,（4）设立迭代初场。,4.1 导热问题数值求解的基本思想,5,（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。,（5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；,4.1 导热问题数值求解的基本思想,6,是,否,求解域离散化,改进初场,建立控制方程及定解条件,设立迭代初场,建立节点温度代数方程,求解代数方程组,解的分析,是否收敛？,导热问题数值解法的流程图,4.1 导热问题数值求解的基本思想,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,7,建立节点离散方程的方
3、法有两种：,泰勒级数展开法,热平衡法,1.泰勒级数展开法,根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j,8,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,一、内节点,若取上面两式右边的前三项，并将式两相加，得二阶导数的中心差分：同样可得：,9,截断误差未明确写出的级数余项中的X的最低阶数为2,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其节点方程为：,10,向前差分格式,向后差分格式,中心差分格式,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,
4、2. 热平衡法,11,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,根据傅里叶定律，L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：,12,Z方向取单位长度,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,若有内热源，为P节点所在网格单元的内热源强度为 ,13,则内热源发热量在稳态导热下：则,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,二、边界节点离散方程的建立1. 位于平直边界上的节点,14,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,红色框内为平直边界上P点的网格单元。边界条件：第三类边界热平衡式为：,15,若有内热源，则可在上式左边加上内热源项：绝热边界，只要令h=0，即可。,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,对于第二类
5、边界条件，设为qw 则上式中的对流换热项,用热流密度qw来替代,16,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,2.外部角点,17,红色框内为外部角点A的网格单元边界条件，第三类边界 ， 内热源强度为 , 热平衡式为,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,3.内部角点,18,红色框内为内部角点P的网格单元边界条件：第三类边界 ,内热源强度为 , 热平衡式为,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,19,求解代数方程的迭代法,代数方程组的求解直接解法矩阵求逆，高斯消元法等迭代法简单迭代法，高斯-赛德尔迭代法，,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解, 1 = 1 11 1 12 2 13 3, 2 =
6、1 22 2 21 1 23 3, 3 = 1 33 3 31 1 32 2,对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其它变量系数绝对值之和，即对角占优，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。,20,迭代过程是否已经收敛的判据：,迭代过程能否收敛的判据：,m +1 ,m +1 ,K代表迭代次数,4.2 稳态导热离散方程的建立和求解,21,4.3 非稳态导热问题的数值解法,对非稳态导热，从能量关系来看网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量传递，本身的内能也将随时间发生变化。,一维非稳态导热问题用有限差分法求解空间，时间的坐标的划分,22,以无内
7、热源，物性参数为常数的一维非稳态导热为例，导热微分方程为：温度对坐标的二阶导数：,非稳态项，温度对时间的一阶导数有三种不同的格式。根据泰勒级数展开，若用节点(i,k)的温度参数来表示节点（i.k+1）的温度,4.3 非稳态导热问题的数值解法,23,舍去上式中左边第三项及以后各尾项，移项整理此式是一阶导数向前差分的表达式。,类似可得向后差分的表达式：,同理可得中心差分的表达式：,4.3 非稳态导热问题的数值解法,24,若温度对时间的一阶导数采用向前差分，则导热微分方程可改写为：,上式移项整理, = 称为网格傅立叶数，以为特征常数。此式为显式差分格式。,4.3 非稳态导热问题的数值解法,25,稳定
8、性条件 对于点i上k+1时刻的温度是由该点在第k时刻的基础上综合相邻点温度后得出。所以如k时刻i点温度较高，则其下一时刻的温度也较高，反之亦然。其表现在差分方程的稳定性条件是：各项的系数必须大于或等于零。即：,若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则,4.3 非稳态导热问题的数值解法,26,整理后可得隐式差分格式：,优缺点：隐式格式计算工作量大，但对步长无限制，不会出现解得震荡；显式格式计算量小，但易出现震荡。,4.3 非稳态导热问题的数值解法,27,用热平衡法建立边界节点的节点方程,如图是一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针对边界节点，其节点方程,边界的热容项,4.3 非稳态导热问题的数值解法,整理上式：其中,28,移项整理,此式为 的显式差分表达式：,稳定性条件,即,4.3 非稳态导热问题的数值解法,29,上式与内节点稳定性条件相比更为严格。在第三类边界条件下，应采用上式作为稳定性条件；如果在第一、二类边界条件下，则只有内节点方程定性条件。,针对图中的边界节点1应用热平衡法也可以写出其隐式差分格式，即,30,整理得,隐式差分格式是无条件稳定的。,4.3 非稳态导热问题的数值解法,31,感谢您的观看！,
