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1、2.5一元二次方程的根与系数的关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,知识点回顾,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根与系数的关系,2,1,1,猜想：,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。,求证：,一元二次方程根与系数的关系,证明：,推导：,一元二次方程根与系数的关系,推导：,一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,概念：,一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根与系数的关系,例题讲解,利用根与系数的关系，求下列方程
2、的两根之和、两根之积,一元二次方程根与系数的关系,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的两根之和与两根之积。,一元二次方程根与系数的关系,例1、已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7,一元二次方程根与系数的关系,解：设方程的两根分别为 和 ， 则： 而方程的两根互为倒数 即： 所以： 得：,例2、方程 的两根互为倒数，求k的值。,一元二次方程根与系数的关系,例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2
3、，那么,一元二次方程根与系数的关系,例4、方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？,解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5, 两根之积2m11 m1且0, m1时,方程的两根互为倒数.,方程一根为0, 两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.,一元二次方程根与系数的关系,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0 ;（4）若一根为1,则abc0
4、;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,一元二次方程根与系数的关系,2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,一元二次方程根与系数的关系,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另 一个根是_，m =_。2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2X-6=0 （ ）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,一元二次方程根与系数的关系,5、已知方程 x22x1的两根为x1 , x2，不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）,一元二次方程根与系数的关系,6、若关于x的方程2x25xn0的一个根是2，求它的另一个根及n的值。7、若关于x的方程x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。,一元二次方程根与系数的关系,
