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1、5-3 函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵定义： 以实变量 的函数为元素的矩阵,称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间 上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。例：已知,计算定义：设 为一个 阶函数矩阵，如果存在 阶函数矩阵 使得对于任何 都有那么我们称 在区间 上是可逆的。,称 是 的逆矩阵，一般记为例 ：已知，那么 在区间 上是可逆的，其逆为,函数矩阵可逆的充分必要条件定理 : n 阶矩阵 在区间 上可逆的充分必要条件是 在 上处处不为零，并且，其中 为矩阵 的伴随矩阵。定义：区间 上的 型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为 的
2、秩。,特别地，设 为区间 上的 阶矩阵函数，如果 的秩为 ，则称 一个满秩矩阵。注意：对于n阶函数矩阵而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。例 ：已知,其中 为固定常数。则称 在 处有极限，且记为其中,如果 的各元素 在 处连续，即则称 在 处连续，且记为其中,容易验证下面的等式是成立的：设则,定义：如果 的所有各元素 在点 处(或在区间 上)可导，便称此函数矩阵 在点 处(或在区间 上)可导，并且记为,函数矩阵的导数运算有下列性质： 是常数矩阵的充分必要条件是 设均可导，则,设 是 的纯量函数， 是函数矩阵， 与 均可导，则特别地，当 是常数 时有,
3、(4) 设 均可导，且 与 是可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以,(5) 如果 与 均可导，则(6) 设 为函数矩阵， 是 的纯量函数， 与 均可导，则,定义： 如果函数矩阵 的所有各元素 在 上可积，则称 在 上可积，且,函数矩阵的定积分具有如下性质：例 1 ：已知函数矩阵试计算,证明：,由于 ，所以下面求 。由伴随矩阵公式可得,再求,例 2 ：已知函数矩阵,试求,例 3 ：已知函数矩阵试求证明：,同样可以求得,例 4 ：已知函数矩阵试计算,函数向量的线性相关性定义：设有定义在区间 上的 个连续的函数向量如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的 等式成立，我们称，在 上,线性相关。,否则就
4、说 线性无关。即如果只有在 等式才成立，那么就说 线性无关。定义：设 是 个定义在区间 上的连续函数向量记,以 为元素的常数矩阵称为 的Gram矩阵， 称为Gram行列式。定理：定义在区间 上的连续函数向量 线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。,例 ： 设则于是 的Gram矩阵为,所以故当 时， 在 上是线性无关的。,定义： 设 是 个定义在区间 上的 有 阶导数的函数向量，记那么称矩阵,是 的Wronski矩阵。,其中 分别是 的一阶，二阶， 阶导数矩阵。定理： 设 是 的Wronski矩阵。如果在区间 上的某个点 ，常数矩阵 的秩等于 ，则向量 在 上线性无关。,例 ： 设则因
5、为 的秩为2，所以 与 线性无关。,小结：一、一元函数矩阵的微积分,定义1 设有函数矩阵 。称矩阵 可微，如果其每个元素 都是可微函数，且微分为,定义2 设有函数矩阵 。称矩阵 的微分为满足下式的矩阵 ：,联想到普通函数 的微分 也满足下式：,定理 3 设 和 都是可微矩阵，则,这里 为可微矩阵。,遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。例如对矩阵多项式函数 显然,上式中，要使法则成立，显然需要补充条件,如此，对多项式函数 ，才能成立链式法则,定义4 设有函数矩阵 。称矩阵 二阶可微，如果其每个元素 都是二阶可微函数，且二阶微分为,一般地，不难给出矩阵的高阶导数。,定义5 设有函数矩阵 。称矩
6、阵 在 上可积，如果其每个元素 都在 上可积，且积分为,容易验证矩阵积分具有下列性质：,这里 为常量矩阵。,定理 6 设 和 都在 上可积，则,定理 7 设 在 上连续，则成立微积分基本定理：,定理 8 设 在 上连续，则成立牛顿-莱布尼兹公式：,例 9 矩阵 为任意常量方阵，证明,例 10 已知 (1)求矩阵 ; (2)求 。,注意到 时， ，因此,解：（1）两边对 求导，得,解：（1）各元素分别对 求定积分，得,%ex603.m syms t% 函数矩阵SS=sin(2*t)+3*sin(t) 5*sin(2*t)-sin(t); 3*sin(2*t)-sin(t) 5*sin(2*t)+
7、sin(t);DS=diff(S,t) % 调用内置函数diff求S对t的导数,ans = 2*cos(2*t) + 3*cos(t), 10*cos(2*t) - cos(t) 6*cos(2*t) - cos(t), 10*cos(2*t) + cos(t),%ex603.m（续） syms t% 函数矩阵SS=sin(2*t)+3*sin(t) 5*sin(2*t)-sin(t); 3*sin(2*t)-sin(t) 5*sin(2*t)+sin(t);syms a b % 声明符号变量a，bIS=int(S，t，a, b) % 调用内置函数int对S从a到b求定积分,IS = (cos
8、(a) - cos(b)*(cos(a) + cos(b) + 3), (cos(a) - cos(b)*(5*cos(a) + 5*cos(b) - 1) (cos(a) - cos(b)*(3*cos(a) + 3*cos(b) - 1), (cos(a) - cos(b)*(5*cos(a) + 5*cos(b) + 1),例11 设矩阵 ，证明,因为矩阵的迹是线性函数，即,例11说明对函数矩阵A(t)而言，求导和A(t)的线性函数l(A(t)可以交换运算次序，即,二、函数对向量的微分,定义12 设有多元函数 。定义函数 对 的微分(即梯度)为向量,显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分
9、量上的变化率，从而指出了此函数的最大增长率。,例13 对双线性型,有,特别地，有,对二次型 ，有,特别地，当 对称时，有,有,例14 当 对称时，对二次函数,因此求二次函数 的极值问题转化为求方程组 的解，即二次函数 的稳定(Stationary)点是可能的极值点。,%ex604.msyms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2,y=y1; y2z=y1 y2; %引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b; c d ;AT=a c;b d;f=z *A*x; % 线性型fR1=jacobian(f,x) % 调用内置函数jacobian求f对x的导数AT*y,R1 = a*y1
10、+ c*y2, b*y1 + d*y2 ans = a*y1 + c*y2 b*y1 + d*y2,理论结果是列向量，但显示为行向量,%ex604.m（续）syms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2,y=y1; y2z=y1 y2; %引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b; c d ;AT=a c ; b df=z *A*x; % 线性型fR2=jacobian(f,y) % 调用内置函数jacobian求f对y的导数A*x,R2 = a*x1 + b*x2, c*x1 + d*x2 ans = a*x1 + b*x2 c*x1 + d*x2,理论结果是列向量，但显示为行
11、向量,%ex604.m（续）syms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2；z=x1 x2; %引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=a b; c d ;AT=a c ; b df=z *A*x; % 二次型fR3=jacobian(f,x) % 调用内置函数jacobian求f对x的导数(A+AT)*x,R3 = 2*a*x1 + b*x2 + c*x2, b*x1 + c*x1 + 2*d*x2 ans = 2*a*x1 + x2*(b + c) 2*d*x2 + x1*(b + c),理论结果是列向量，但显示为行向量,定义15 设有多元函数 。定义函数 对 的微分(即行梯度)为
12、行向量,定义16 行向量值函数 对列向量 的微分为Jacobi矩阵（行对列）,将梯度推广到向量值函数，我们有,定义17 列向量值函数 对行向量 的微分为Jacobi矩阵（列对行）,特别地，当 时，有Jacobi行列式,例18 对 ， 有,例19 对 ， 有,都是行对列,例20 推广例13的结论。对,有,例 21 （二重积分的坐标变换）,直角坐标系下的二重积分,变成相应的极坐标下的二重积分,经过变换,定义22 多元函数 对列向量 的二阶微分为Hessian矩阵,其Hessian矩阵为,例 23 当 对称时，对二次函数,如果矩阵 还是正定的，并且存在 ，使得 ，则由 可知 是二次函数的局部极小点。
13、,%ex605.msyms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2, z=x1 x2; %引入z的目的是简化结果R1=jacobian(z,x) % 调用内置函数jacobian求x对x的导数A=a b; c d;R2=jacobian(z*A,x) % 调用内置函数jacobian求xA对x的导数,R1 = 1, 0 0, 1R2 = a, c b, d,都是行向量对列向量，返回的是Jacobi矩阵,%ex605.m（续）syms x1 x2 a b c d b1 b2 x=x1 ;x2;z=x1 x2; A=a b; b d; % A是对称矩阵B=b1;b2,BT=b1 b2;f=(
14、1/2)*z*A*x-BT*x+c % 二次泛函 fR3=jacobian(f,x) %R3是列向量%列向量对行向量，这里返回的Jacobi矩阵是二次泛%函的Hessian矩阵，即对称矩阵AH=jacobian(R3,z),R3 = a*x1 - b1 + b*x2, b*x1 - b2 + d*x2 H = a, b b, d,实际应用中经常要考虑诸如矩阵的迹、矩阵的行列式等矩阵标量函数与矩阵元素值变化之间的关系，比如扰动分析中某个矩阵元素值的变化对矩阵的迹的影响等。矩阵标量函数显然可理解为 元的函数，即,因此有必要将梯度推广到矩阵标量函数。,三、矩阵标量函数对矩阵的微分,定义25 设有矩阵
15、标量函数 。函数 对 的微分为梯度矩阵,例 27 对双线性型,有,例 26 对矩阵的迹,有,因此,例 28 对矩阵乘积的迹,有,四、矩阵对矩阵的微分,定义28 设矩阵值函数 的元素 都是矩阵标量函数。矩阵函数 对 的微分指的是 矩阵,其中,例 29 已知 ，设 ，求,解： 因为,函数矩阵在微分方程中的应用形如,的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式其中,上述方程组的初始条件为可以表示成定理：设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件 的解为,定理：设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件 的解为例 1 ：设,求微分方程组 满足初始条件 的解。解：首先计算出矩阵函数,由前面的定理可知微分方程组满足初始条件 的解为,例 2 ：设,求微分方程组 满足初始条件 的解。解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为,由上面的例题可知而,所以有,故有,
