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1、设区域 D 关于x 轴对称, 且x 轴的上方部分为D1, 如果函数f (x,y)关于y为偶函数, 则,如果f (x,y)关于y为奇函数, 则,几何意义应用,类似一元函数的对称性,第二节 二重积分的计算法（1）,二、小结 思考题,一、利用直角坐标系计算二重积分,二重积分的计算方法,类似于一元函数的定积分的计算。按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法。下面介绍一种计算二重积分的方法，就是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。,定积分的应用,复习,1、求曲边梯形的面积,2、平行截面面积为已知的立
2、体的体积,如果已知立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,3、二重积分的几何意义,表示以曲面z = f (x,y)为顶, D为底的曲顶柱体的体积.,(1) 设 z = f (x,y) 0, (x,y)D,(2) 设 z = f (x,y) 0, (x,y)D,表示曲顶柱体体积的负值.,表示这些部分区域上的柱体体积的代数和.,(3) 若 z = f (x,y) 在D上若干部分区域是正的,在其它部分区域是负的.,假定,y,a,b,c,d,D,z=f (x,y),一
3、、利用直角坐标系计算二重积分,1、D为矩型区域,D是矩形区域 a,b ; c,d,平行截面面积为已知的立体的体积,y,a,b,c,d,D,z=f (x,y),.,.,一、利用直角坐标系计算二重积分,1、D为矩型区域,D是矩形区域 a,b ; c,d,A( y ) =,y,a,b,c,d,D,.,z=f (x,y),一、利用直角坐标系计算二重积分,1、D为矩型区域,D是矩形区域 a,b ; c,d,A( y ) =,V,请你动手,由于积分区域关于x轴y轴都对称，被积函数为x和y的偶函数，所以,2、D为曲线型区域,如果积分区域为：,Y型,(1) Y型区域,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线
4、与区域边界相交不多于两个交点.,c,d,D,z=f (x,y),x=2(y),x=1(y),y,D: 1(y) x 2(y) c y d,c,d,D,z=f (x,y),.,y,.,.,A( y ) =,D: 1(y) x 2(y) c y d,x=2(y),x=1(y),x=1(y),y,c,d,D,.,z=f (x,y),D: (y) x (y) c y d,V =,x=2(y),A( y ) =,(2) x型区域,如果积分区域为：,X型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,a,b,D,z=f (x,y),x,D: 1(x) y 2(x) a x b
5、,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如图所示，,分割后的三个区域分别为X-型区域（或Y-型）利用积分公式,则必须分割.,若区域既不是X-型，又不是Y-型。,若区域既不是X-型，又不是Y-型。,若区域既是X-型，又是Y-型。,总结：,1画出积分区域D的草图,2根据积分区域类型，选择积分次序，确定 积分上下限。,将二重积分转化为二次积分计算，关键是确定积分限,后积先定限，限内画直线，先交为下限，后交为上限,X型,DX型,DY型,Y型,解法一,1画草图,2确定D的类型（确定积分次序）,
6、注意：对谁求积分，谁看作变量，其余看作常量计算。,解法二,1画草图,2确定D的类型（确定积分次序）,例2,解法一,解法二,例3,解,（计算比较麻烦）,解,1画草图,2确定D的类型（确定积分次序）,DX型,DY型,例5,解：,（计算比较麻烦）,解,积分区域如图,积分区域,将二重积分化为二次积分计算时，要注意选择积分次序,即要考虑积分区域（一般分块越少越好）,又要考虑被积函数（一般先积分的容易求，并为后积分的作准备）,解,积分区域如图,积分区域,解,原式=,D1,D2,D3,解,积分区域为立体在xoy面上的投影如图所示.,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,思考题解答,总结：当被积函数可以分离，积分区域为矩形域时，一个二重积分可以写成两个单积分的乘积。,思考题,设,且,要求：从中找出规律,练 习 题,练习题答案,
