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1、1.3.1函数的单调性与导数,单调性的定义,对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,判断函数单调性有哪些方法？,图象法,在（ ，0）和（0, ）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（ ，1）上是减函数，在（1, ）上是增函数。,在( ,)上是增函数,画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间,y,1.在x1的左
2、边函数图像的单调性如何？,新课引入,2.在x1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？,3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？,4.在x1的右边时，同时回答上述问题。,定理：一般地，函数yf（x）在某个（a，b）区间内可导：如果恒有 f(x)0，则 f（x） 是增函数。如果恒有 f(x)0，则f（x） 是减函数。如果恒有 f(x)=0，则f（x） 是常数。,课本思考,思考1：如果在某个区间内恒有 ，那么函数 有什么特性？,几何意义：,关系：,思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。,例1、已知导函数 的下列
3、信息：,当10;当x4,或x1时， 0;当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。,A,B,C,D,D,导函数f(x)的-与原函数f(x)的增减性有关,正负,1应用导数求函数的单调区间,(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”) (1) 函数y=x3在3，5上为_函数。 (2) 函数 y = x23x 在2，+)上为_函数， 在(,1上为_函数。,基础训练：,应用举例,增,增,减,例2.确定函数 ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。,解：函数f(x)的定义域是( ,),令6x212x0,解得x2或x0当x (2,)时，f(x)是增函数； 当x (，
4、0)时，f(x)也是增函数令6x212x0,解得,0 x2当x (0,2)时，f(x)是减函数。,知识点：,定理：一般地，函数yf（x）在某个区间内可导： 如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 ，则 f(x)是减函数。 如果恒有 ，则 f(x)是常数。,步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f(x)0以及f(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。,f(x)0,f(x)0,f(x)0,练习:判断下列函数的单调性,(1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=x2-2x-3;(3)f(x)=sinx-x,x(0,);(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1; P
5、26练1,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.,P26练习,2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状,设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示,则 的图象最有可
6、能的是( ),(A),(B),(C),(D),C,1.3.1函数的单调性与导数 含参问题,思考题,A,求参数的取值范围,在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,例2：,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,例3：求证：方程 只有一个根。,方程根的问题,B,2.函数y=a(x3-x)的减区间为 则 a 的取值范围为( )(A)a0 (B)11 (D) 0a1,A,证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e
7、2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(0)=e010=0.当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x,2.当x0时，证明不等式：1+2xe2x.,分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.,点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.,3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。,提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小,
