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1、对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。,复数与复变函数、解析函数、,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作
2、不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理
3、论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,第一讲复数,1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数,CH1 1复数及其代数运算,一般, 任意两个复数不能比较大小。,1. 复数的概念,判断复数相等,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代数运算,四则运算,z1+z2=z2+
4、z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，,共轭复数的性质,3.共轭复数,定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法,2 复数的表示方法,1. 点的表示,数z与点z同义.,2. 向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时
5、),辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,z=0时，辐角不确定。,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加 。,当z落于第三象限时，减 。,由向量表示法知,3. 三角表示法,4. 指数表示法,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例1 用复数方程表示:（1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。,解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t +）,例2 方程 表示 什么图形？,解,注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不
6、同问题的需要.,1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根,3 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2),1. 乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|
7、z2|倍。,定理1可推广到n 个复数的乘积。,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。,证明, Argz=Argz2-Argz1 即：,由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的 复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，
8、1，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,4.复球面,扩充复平面的一个几何模型就是复球面。,(1)复平面上每一条直线都通过点，同时，没有一个半平面包括点。,关于新“数”还需作如下几点规定：,(2) 的实部，虚部及幅角都无意义，,(3)b0(但可为)时，,(4)a时，,(5)运算 ，0 ， 无意义,1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域,4 区 域,1. 区域的概念,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 内部的点的集合称为点 z 0 的（去心）邻域 。记为(z0 ,) 即，,设G是一平面上点集,连通是指,D-区域,2. 简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,3. 单连通域与多连通域,简单闭曲线的性质,例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。,多连通域,单连通域,
