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1、LINGO实用简易教程,培训内容,LINGO简介,LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。,使用入门界面,使用入门菜单命令,“File”“Edit”：match parenthesis：括号匹配，选定某括号的一边，然后点击此选项，程序会自动寻找与之相匹配的括号，如果未找到，会有弹窗提示。paste function：用来进行函数的插入。“lingo”：solu
2、tion：主要是考察结果，可以指定某一行或者某一个项目来考察结果，有文字形式也有图表形式。range：主要是用于灵敏度分析，在这里要先更改默认设置，将price改为price and range，然后才能运行range。generate：可以产生相对应的程序。debug：用于调试程序，只能在程序出错时才能用。,示例：model:sets: number/1.6/:x;endsetsdata: x = 5 1 3 4 6 10;enddata end,windows：command window：生成命令窗口，用于在非windows系统下以命令的方式编写和运行程序。tile：排列窗口的方式/横排
3、或竖排cascade：以瀑布的方式排列窗口arrange icons：当窗口最小化之后用来排列图标。,程序结构集,LINGO的程序一般是一“MODEL：”开头，以“end”结束，内容包括四部分：集部分，数据部分，初始部分，目标函数、约束函数部分。集部分是LINGO模型的一个可选部分。在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须被定义。,程序结构原始集,集包括原始集和派生集两种。定义原始集
4、为了定义一个原始集，必须详细声明：集的名字可选，集的成员可选，集成员的属性定义一个原始集，用下面的语法：setname/member_list/:attribute_list;注意：用“ ”表示该部分内容可选。,示例1：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;endsetsEnd示例2：Model:Sets:Month/Jan.Dec/:temperature;Endsetsend,程序结构原始集,集成员列表的罗列可以有显式罗列和隐式罗列两种，显示罗列如上页所示，即将集成员全部罗列出来。隐式罗列不必罗列出每个集成员。可采用如下语法：setn
5、ame/member1.memberN/: attribute_list;这里的member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名。LINGO将自动产生中间的所有成员名。LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名，用于创建一些特殊的集。列表如下：隐式成员列表格式示例所产生集成员,程序结构原始集,也可以将集成员在数据部分定义。示例：!集部分;sets: students:sex,age;endsets!数据部分;data: students,sex,age= John 1 16 Jill 0 14 Rose 0 17 Mike 1 13;Enddata注意：开头用感叹号（!）
6、，末尾用分号（;）表示注释，可跨多行。,请注意：数据部分的数据之间可以用空格隔开，也可以用逗号隔开。程序默认的数据是从索引1开始分配，即将“students，sex，age”的第一个数据分配完了之后再分配其第二个数据。,再如下例：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;EndsetsData:Age,gender=10,1,11,0,12,1;enddataEnd运行之后便可看出数据分配的结果。,程序结构派生集,定义派生集为了定义一个派生集，必须详细声明：集的名字父集的名字可选，集成员可选，集成员的属性可用下面的语法定义一个派生集：setn
7、ame(parent_set_list)/member_list/:attribute_list;setname是集的名字。parent_set_list是已定义的集的列表，多个时必须用逗号隔开。如果没有指定成员列表，那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。,示例：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;friends/Harry,Green/;Links(students,friends):relationship;EndsetsData:Relationship=8,
8、4,9,6,6,8;enddataEnd运行结果如下图：,程序结构派生集,稀疏集可以用显式表示也可以用成员资格过滤器表示。显式表示可如下示例：Links(students,friends)/John,Harry,Linda,Green/:relationship;（1）成员资格过滤器表示可如下示例：Links(students,friends)|（2）分别插入程序中，并修改数据，可得到如下结果：（1）RELATIONSHIP( JOHN, HARRY) 8.000000 RELATIONSHIP( LINDA, GREEN) 6.000000（2）RELATIONSHIP( JOHN, GRE
9、EN) 8.000000,程序结构数据,数据部分以关键字“data:”开始，以关键字“enddata”结束。在这里，可以指定集成员、集的属性。其语法如下：object_list = value_list;对象列（object_list）包含要指定值的属性名、要设置集成员的集名，用逗号或空格隔开。一个对象列中至多有一个集名，而属性名可以有任意多。如果对象列中有多个属性名，那么它们的类型必须一致。如果对象列中有一个集名，那么对象列中所有的属性的类型就是这个集。数值列（value_list）包含要分配给对象列中的对象的值，用逗号或空格隔开。注意属性值的个数必须等于集成员的个数。看下面的例子。,示例：
10、sets: set1/A,B,C/: X,Y;endsetsdata: X=1,2,3; Y=4,5,6;Enddata数据部分也可以如此表示，其本质是一样的：data: X,Y=1 4 2 5 3 6;enddata,程序结构数据,Data部分也可以用来定义标量变量，如下所示:data: interest_rate = .085;enddata也可以同时指定多个参数。data: interest_rate,inflation_rate = .085 .03;enddata 在某些情况，对于模型中的某些数据并不是定值。譬如模型中有一个通货膨胀率的参数，我们想在2%至6%范围内，对不同的值求解模
11、型，来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多么敏感。我们把这种情况称为实时数据处理（what if analysis）。LINGO有一个特征可方便地做到这件事：在本该放数的地方输入一个问号（?）。如下所示：data: interest_rate,inflation_rate = .085 ?;enddata每一次求解模型时，LINGO都会提示为参数inflation_rate输入一个值。在WINDOWS操作系统下，将会接收到一个类似右上角所示的对话框：直接输入一个值再点击OK按钮，LINGO就会把输入的值指定给inflation_rate，然后继续求解模型。,程序结构数据,指定属性为一个值可以在数
12、据声明的右边输入一个值来把所有的成员的该属性指定为一个值。看下面的例子。数据部分的未知数值有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值，而让其余成员的该属性保持未知，以便让LINGO去求出它们的最优值。在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格。属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20，其余的未知。,示例1：sets: days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost;endsetsdata: needs cost = 20 100;Enddata示例2：sets: years/1.5/: capacity;e
13、ndsetsdata: capacity = ,34,20,;Enddata属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20，其余的未知。,程序结构初始部分,初始部分是LINGO提供的另一个可选部分。在初始部分中，可以输入初始声明（initialization statement），和数据部分中的数据声明相同。对实际问题的建模时，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分输入的值仅被LINGO求解器当作初始点来用，并且仅仅对非线性模型有用。和数据部分指定变量的值不同，LINGO求解器可以自由改变初始部分初始化的变量的值。一个初始部分以“init:”开始，以“endinit”结束。初始部分
14、的初始声明规则和数据部分的数据声明规则相同。也就是说，我们可以在声明的左边同时初始化多个集属性，可以把集属性初始化为一个值，可以用问号实现实时数据处理，还可以用逗号指定未知数值。示例：init: X, Y = 0, .001;endinit Y=log(X); X+Y=1;,注意：好的初始点会减少模型的求解时间。如左例中，若将x的初始值改为0.9，则可以明显减少迭代次数。,程序结构基本运算符,一、基本运算符1、算术运算符算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO提供了5种二元运算符：乘方乘除加减LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“”。这些运算符的优先级由高到底为：高（取反） 低运算符的运
15、算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。,程序结构逻辑运算符,2、逻辑运算符在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。LINGO具有种逻辑运算符：#not# 否定该操作数的逻辑值，not是一个一元运算符#eq#若两个运算数相等，则为true；否则为flase#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase#ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为fla
16、se#lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase#le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase#and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase#or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true这些运算符的优先级由高到低为：高 #not# #eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le#低 #and# #or#,程序结构数学算符,二、数学函数LINGO提供了大量的标准数学函数：abs(x) 返回x的绝对值sin(x) 返回x的正弦值，x采用弧度制cos(x) 返回x的余弦值ta
17、n(x) 返回x的正切值exp(x) 返回常数e的x次方log(x) 返回x的自然对数lgm(x) 返回x的gamma函数的自然对数sign(x) 如果x=0时，返回不超过x的最大整数；当x0时，返回不低于x的最小整数。smax(x1,x2,xn) 返回x1，x2，xn中的最大值smin(x1,x2,xn) 返回x1，x2，xn中的最小值,程序结构应用实例,应用示例：给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。 解：如图所示。求最小的正方形就相当于求如下的最优化问题：LINGO代码如下：model:sets: object/1.3/: f;endsetsdata: a, b = 3, 4;
18、 !两个直角边长，修改很方便;enddata f(1) = a * sin(x); f(2) = b * cos(x); f(3) = a * cos(x) + b * sin(x); min = smax(f(1),f(2),f(3); bnd(0,x,1.57);end,程序结构概率函数,三、概率函数1pbn(p,n,x)：二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。2pcx(n,x) ：自由度为n的2分布的累积分布函数。3peb(a,x) ：当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。4pel(a,x) ：当到达负荷为a，服务系
19、统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。5pfd(n,d,x) ：自由度为n和d的F分布的累积分布函数。6pfs(a,x,c) ：当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。7phg(pop,g,n,x) ：超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（npop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。8ppl(a,x)Poisson
20、 ：分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布。9pps(a,x) ：均值为a的Poisson分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。10psl(x) ：单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。11psn(x) ：标准正态分布的累积分布函数12ptd(n,x) ：自由度为n的t分布的累积分布函数。,程序结构qrand,13qrand(seed)：产生服从(0,1)区间的拟随机数。qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个mn的二维表
21、，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层取样”的方法产生的。model:data: M=4; N=2; seed=1234567;enddatasets: rows/1.M/; cols/1.N/; table(rows,cols): x;endsetsdata: X=qrand(seed);enddataend如果没有为函数指定种子，那么LINGO将用系统时间构造种子。,程序结构rand,14rand(seed)返回0和1间的伪随机数，依赖于指定的种子。典型用法是U(I+1)=rand(U(I)。注
22、意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。示例：利用rand产生15个标准正态分布的随机数和自由度为2的t分布的随机数。model:!产生一列正态分布和t分布的随机数;sets: series/1.15/: u, znorm, zt;endsets !第一个均匀分布随机数是任意的; u( 1) = rand( .1234); !产生其余的均匀分布的随机数; for(series( I)| I #GT# 1:u( I) = rand( u( I - 1) ); for( series( I): !正态分布随机数; psn( znorm( I) = u( I); !和自由度为2的t分布随机数;
23、ptd( 2, zt( I) = u( I); !ZNORM 和 ZT 可以是负数; free( znorm( I); free( zt( I); );end,程序结构变量界定函数,四、变量界定函数变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：bin(x)：限制x为0或1bnd(L,x,U)：限制LxUfree(x) ：取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数gin(x)：限制x为整数在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+。free取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。应用示
24、例：（1）min=x1+x2;x1-x2=2;x1+2*x2=3;结果显示：x1=0,x2=0。,（2）若添加free函数：free(x1);free(x2);则结果显示为：“Unbounded Solution”，即为无界解。（3）若将添加gin函数：gin(x1);gin(x2);则结果显示：x1=0,x2=0，说明gin函数限制x为整数的同时也限定x0。（4）若将程序修改为：max=x1+x2;x1-x2=2;x1+2*x2=3;则结果显示为x1=2.333333,x2=0.333333，为全局最优解。（5）若将添加gin函数：gin(x1);gin(x2);则结果显示为：x1=1，x2
25、=1，即为整数最优解。,程序结构集操作函数,五、集操作函数LINGO提供了几个函数帮助处理集。1in(set_name,primitive_index_1 ,primitive_index_2,)如果元素在指定集中，返回1；否则返回0。示例： 全集为I，B是I的一个子集，C是B的补集。sets: I/x1.x4/; B(I)/x2/; C(I)|#not#in(B,endsets此例C(I)中的元素为x1,x3,x4。,另见此例：model:sets: series/x1.x5/;endsetsy=in(series,8);End返回的结果为y=0，说明集series中不包括第8个元素；若程序
26、为：model:sets: series/x1.x5/; series1/z1.z4/; links(series,series1);endsetsy=in(links,1,4);End返回的结果为y=1，说明在集links中存在第一行第四列的元素。,程序结构集操作函数,2index(set_name, primitive_set_element)该函数返回在集set_name中原始集成员primitive_set_element的索引。如果set_name被忽略，那么LINGO将返回与primitive_set_element匹配的第一个原始集成员的索引。如果找不到，则产生一个错误。示例1：
27、 如何确定集成员(B,Y)属于派生集S3。sets: S1/A B C/; S2/X Y Z/; S3(S1,S2)/A X, A Z, B Y, C X/;endsetsX=in(S3,index(S1,B),index(S2,Y);看下面的例子，表明有时为index指定集是必要的。示例2：sets: girls/debble,sue,alice/; boys/bob,joe,sue,fred/;endsetsI1=index(sue);I2=index(boys,sue);I1的值是2，I2的值是3-=。我们建议在使用index函数时最好指定集。,程序结构集操作函数,3wrap(index
28、,limit)该函数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值保证j落在区间1，limit内。该函数相当于index模limit再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。4size(set_name)该函数返回集set_name的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它的使用使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。,程序结构集循环函数,六、集循环函数集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为function(setname(set_index_list)|conditional_qualifier:expression_list);function相应于下
29、面罗列的四个集循环函数之一；setname是要遍历的集；set_ index_list是集索引列表；conditional_qualifier是用来限制集循环函数的范围，当集循环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为真，则对该成员执行function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是for函数时，expression_list可以包含多个表达式，其间用分号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用其余的三个集循环函数时，expression_list只能有
30、一个表达式。如果省略set_index_list，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。1for该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。示例： 产生序列1,4,9,16,25sets: number/1.5/:x;endsets for(number(I): x(I)=I2);,程序结构集循环函数,2sum该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。示例1： 求向量5，1，3，4，6，10前5个数的和。model:data: N=6;enddatas
31、ets: number/1.N/:x;endsetsdata: x = 5 1 3 4 6 10;enddata s=sum(number(I) | I #le# 5: x);End注意：此时如果将集部分和第一个数据部分调换的话，程序无法运行，因为此时N尚未被定义。,3min和max返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。示例2： 求向量5，1，3，4，6，10前5个数的最小值，后3个数的最大值。model:data: N=6;enddatasets: number/1.N/:x;endsetsdata: x = 5 1 3 4 6 10;enddata minv=min(number(
32、I) | I #le# 5: x); maxv=max(number(I) | I #ge# N-2: x);end,程序结构应用实例,示例：职员时序安排模型 一项工作一周7天都需要有人（比如护士工作），每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14和12，并要求每个职员一周连续工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。注意这里我们考虑稳定后的情况。model:sets: days/mon.sun/: required,start;endsetsdata: !每天所需的最少职员数; required = 20 16 13 16 19 14 12; enddata!最
33、小化每周所需职员数; min=sum(days: start); for(days(J): sum(days(I) | I #le# 5: start(wrap(J+I+2,7) = required(J);end,程序结构应用实例,计算的部分结果为Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 22.00000 Variable Value Reduced Cost REQUIRED( MON) 20.00000 0.000000 REQUIRED( TUE) 16.00000 0.000000 REQUIRED(
34、 WED) 13.00000 0.000000 REQUIRED( THU) 16.00000 0.000000 REQUIRED( FRI) 19.00000 0.000000 REQUIRED( SAT) 14.00000 0.000000 REQUIRED( SUN) 12.00000 0.000000 START( MON) 8.000000 0.000000 START( TUE) 2.000000 0.000000 START( WED) 0.000000 0.3333333 START( THU) 6.000000 0.000000 START( FRI) 3.000000 0.
35、000000 START( SAT) 3.000000 0.000000 START( SUN) 0.000000 0.000000从而解决方案是：每周最少需要22个职员，周一安排8人，周二安排2人，周三无需安排人，周四安排6人，周五和周六都安排3人，周日无需安排人。,程序结构集循环函数,3. prod函数：用于获取集中所有元素的乘积。示例：MODEL:SETS:COMPONENTS: P;ENDSETSDATA:P = .95 .99 .98;ENDDATAP_FAIL = 1 - PROD( COMPONENTS( I): P( I);END本例中P_FAIL表示的是一个串联系统失效的概率
36、。,程序结构辅助函数,七、辅助函数1if(logical_condition,true_result,false_result)if函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真，返回true_ result，否则返回false_result。示例1：求解最优化问题其LINGO代码如下：model: min=fx+fy; fx=if(x #gt# 0, 100,0)+2*x; fy=if(y #gt# 0,60,0)+3*y; x+y=30;end 2warn(text,logical_condition)如果逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容
37、为text的信息框。示例2：model: x=1; warn(x是正数,x #gt# 0); end,简单的命令行命令及应用,命令行命令一般用于非windows系统的计算机中，我们可以通过菜单行中找到“command window”或者按组合键“CTRL+1” 来启动命令窗口。在这里仅仅对简单的命令作一下介绍。cat显示所有命令类型；com按类型显示所有命令；model开始以命令行方式输入一个模型；go求解当前模型；solu显示当前模型的求解结果；quit退出lingo系统。,LINGO实战线性规划,某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：若要求
38、桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？,LINGO实战线性规划,分析：这是一个典型的线性规划问题。我们用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。程序如下所示：max=60*desks+30*tables+20*chairs; 8*desks+6*tables+chairs=48;4*desks+2*tables+1.5*chairs=20;2*desks+1.5*tables+.5*chairs=8;tables=5;在变量较少的情况下，用这种格式是比较方便的，但是当变量增多时，这样的写法就会耗时耗力了。因此，我们提倡用lingo提供
39、的函数来简化模型的结构，使之更加易写与易读。首先，我们要定义集合：sets:products/desks,tables,chairs/:interest,volume;materials/a.c/:capacity;links(products,materials):x;endsets,LINGO实战线性规划,现在我们来定义数据部分：data:interest=60,30,20;capacity=48,20,8;x=8,4,26,2,1.51,1.5,0.5;enddata然后我们写出目标函数与约束条件：max=sum(products(i):interest(i)*volume(i);for
40、(materials(j):sum(products(i):x(i,j)*volume(i)=capacity(j);volume(2)=5;最后，我们只需要将这几部分组合起来即可。,LINGO实战线性规划,model:sets:products/desks,tables,chairs/:interest,volume;materials/a.c/:capacity;links(products,materials):x;endsetsdata:interest=60,30,20;capacity=48,20,8;x=8,4,26,2,1.51,1.5,0.5;enddatamax=sum(p
41、roducts(i):interest(i)*volume(i);for(materials(j):sum(products(i):x(i,j)*volume(i)=capacity(j);volume(2)=5;end,LINGO实战线性规划,Objective value: 280.0000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostVOLUME( DESKS) 2.000000 0.000000 VOLUME( TABLES) 0.000000 5.000000 VOLUME( CHAIRS) 8.000000 0.00000
42、0 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.0000 1.000000 2 24.00000 0.000000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 5.000000 0.000000“Global optimal solution found at iteration: 2”表示2次迭代后得到全局最优解。 “Objective value:280.0000”表示最优目标值为280。,LINGO实战线性规划,“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数
43、的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0， 对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中：变量tables对应的reduced cost值为5，表示当非基变量tables的值从0变为 1时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值 = 280 - 5 = 275。“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。 若其数值为p， 表示对应约束中不等式右端项若增加1 个单
44、位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS = 20 变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS = 21 时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第4行也类似。 对于非紧约束（如本例中第2、5行是非紧约束），DUAL PRICE 的值为0, 表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析D
45、UAL PRICE, 也可对产生不可行问题的原因有所了解。,LINGO实战灵敏度分析,下面我们来做灵敏度分析：首先，我们要启动灵敏度分析，即将“General Solver”选项卡中的“Dual Computation”下拉项修改为“Prices & Ranges”。然后，我们点“Solve”运行程序，运行完之后，回到模型界面，点击“lingo”菜单下的“range”选项即可得到结果。结果显示如下： Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable V
46、ariable Coefficient Increase Decrease VOLUME( DESKS) 60.00000 20.00000 4.000000 VOLUME( TABLES) 30.00000 5.000000 INFINITY VOLUME( CHAIRS) 20.00000 2.500000 5.000000,LINGO实战灵敏度分析,Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 48.00000 INFINITY 24.00000 3 20.00000 4.000
47、000 4.000000 4 8.000000 2.000000 1.333333 5 5.000000 INFINITY 5.000000,LINGO实战灵敏度分析,目标函数中DESKS变量原来的费用系数为60，允许增加（Allowable Increase）=4、允许减少（Allowable Decrease）=2，说明当它在60-4，60+20 = 56，80范围变化时，最优基保持不变。对TABLES、CHAIRS变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变
48、化）。 第2行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为48，当它在48-24，48+ = 24，范围变化时，最优基保持不变。第3、4、5行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。,LINGO实战灵敏度分析,一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根
49、据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？模型很简单，设生产A1的数量为x1，生产A2的数量为x2，代码如下
50、：max=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1+8*x2=480;3*x1=100;,LINGO实战灵敏度分析,求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。 Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3
