多元函数泰勒公式与极值ppt课件.ppt

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1、8.6 多元函数的极值及其求法,主要内容1、多元函数泰勒公式2、多元函数的极值和最值3、条件极值拉格朗日乘数法,一元函数的泰勒公式:,8.6 多元函数泰勒公式与极值,一、问题的提出,引入函数,显然,利用一元函数的麦克劳林公式,得,由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得,(*),二、二元函数的泰勒公式,一般地,记号,其中,上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.,例 1,解,其中,1、多元函数极值的定义,设PRn, 函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0, )内有定义,对任何p U(p0, ), , 都有f(p)f(p0), 称函数 u=f(p)在p0点有极小值。,(1),(2),(3),例1,例

2、,例,极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.,2、多元函数取得极值的条件,证,注:1)极值点处的切平面平行于xoy平面; 2)使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.,驻点,极值点,如何判定驻点是否为极值点?,注意:,求最值的一般方法: 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.,3、多元函数的最值,第三步,比较以上两步所得各函数值,最大者为M,最小者为m故M=25,m=9,解,(舍去x1),解,由, x=y,无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.,实例: 张三有200元钱,他决定用来购

3、买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买 张磁盘, 盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为 设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质:求 在条件 下的极值点,四、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值:对自变量有附加条件的极值,解,则, 2x=3y, y=2z,解,可得,即,1. 在椭圆 上求一点,使其到直线,的距离最短。,解 设P(x,y)为椭圆 上任意一点,则P到直线,的距离为,求d 的最小值点即求 的最小值点。作,由Lagrange乘数法,令,得方程组,解此方程组得,于是,由问题的实际意义最短距离存在,因此 即为所求点。,3.,解,分析:,得,思 考,

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