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1、,球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？,球与多面体的内切、外接,有关多面体与球的外接、内切问题，是立体几何的一个重点，同时也是难点，也是高考考查的一个热点。研究多面体与球的外接、内切问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体的外接球、内切球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。,前言,定义1：若一个多面体的各面都与一个球的 球面相切，则称这个多面体是这个 球的外切多面体，这个球是这个多 面体的内切球。,中截面,设棱长为a,球的外切正方体的棱长等于球直径。,定义2：:一个几何体各个面分别 与另一个几何体各条棱 相切，叫
2、棱切,中截面,球内切于正方体的棱,设棱长为a,正方形的面对角线为球的直径a,定义3：若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上，则称这个多面 体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。,A,B,C,D,D1,C1,A1,对角面,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,设棱长为a,球与长方体只有长方体外接球，与球外接于正方体类似，球的直径为体对角线，即： = + + ,注意：长方体没有内切球,步骤：,1、球心的位置：轴截面的方法,2、半径：构造直角三角形，通常是棱 与半径的关系,3、方法：将立体转化为平面，找截面图,球与其他棱柱切接问题,正三棱柱的外接球,球心在上下底面中
3、心连线的中点。,AOB是等腰三角形，OA=OB=R,设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。,正三棱柱的内切球,如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。,球与正三棱锥,正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上,球心在高PH上，即在锥体内部,球心在高PH的延长线上，即在锥体外部,球心与底面正中心H重合,度量关系：,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，,或在RtAHO中，,正三棱锥的内切球
4、的球心在它的高上,有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P-BC-A的平面角。,把有关立体几何的计算转化为平面几何(截面图为直角三角形)的计算，是最基本的策略。,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为PH=h，斜高为PD=h ，内切圆半径为r，,(与外接球的球心不一定重合）,球与正四面体,两心合一,设正四面体棱长为AB=a，外接圆半径为R，内切圆半径为r，,OA=OP=R，OH=OK=r，,PH= 2 3 a,，AH= 3 3 ,则有R+r=OP+OH=PH= 2 3 a, 2
5、2 = 2 2 = 2 = 2 3,解得R= 6 4 a,r= 6 12 a,总结：正四面体与球的接切问题，可通过线 面关系证出，内切球和外接球的两个 球心是重合的，为正四面体高的四等 分点，即定有内切球的半径= h ( h为正四面体的高)，且外接球的半径 R=3r ,与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r = a,例：在正三棱锥SABC中，侧棱SC上侧面SAB，侧棱SC=2 ， 则此正三棱锥的外接球的半径为（ ）,球与三条侧棱互相垂直的三棱锥,球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球。,方法：,补形法（主线）：,把三棱锥补形为正方体或长方体。常见的两种形
6、式：,1、三条侧棱互相垂直且相等，补形为正方体,2、三条侧棱互相垂直且不相等，补形为长体,= 3,（方法：补成长方体）,球与其他特殊的棱锥，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面图、补形法等进行求解，如四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何性质，巧定球心位置，在由几何性质找出半径,例：在三棱锥 的中，满足SA垂直面ABC， AB 与BC垂直，取SC的中点为O，设SC 为a，求其外接球的半径（）,球与其他特殊的棱锥,方法：,SC/2,解决本类问题基础的立体图，综合运用截面图、补形、立体的几何性质等方法，将空间问题转化平面问题求解,例：在半径为R的球内放入大小相等的4个球， 则小球半径的最大值是（ ）,（ 6 -2 ）R,球与球,方法：,3、找球心及半径（构造直角三角形）,球与多面体的内切、外接心法总则,1、找准切点,2、画出截面图（将空间问题转化平面问题）,祝同学们学习愉快！谢谢！再见！,欢迎批评指导！,
