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1、一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示,泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。,数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。,重点讨论：二阶线性偏微分方程。,第六章 数学物理方程的定解问题,三类典型的数学物理方程,三类典型的数学物理方程,注意一维情况下的表达式,1 边界问题-边界条件,体现边界状态的数学方程称为边界条件,2 历史问题-初始条件,体现历史状态的数学方程称为初始条件,二、定解条件,三、定解问题在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,定解条件：它反映了问题的特殊性
2、，即个性。泛定方程：它反映了问题的共性。,具体问题求解的一般过程：,1、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律,2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件求解所必须的已知条件,3、求解方法 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法,6.1 三类数理方程的导出,建模步骤：,（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。,（2）研究物理量遵循哪些物理规律？,（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。,(一）均匀弦横振动方程,现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细
3、弦上各点的振动规律相应的方程 设定: (1)弦不振动时静止于x轴; (2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况,弦的横振动,选取不包括端点的一微元x, x+dx弧B段作为研究对象.,研究对象:,(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：,假设与近似：,(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略,质量线密度，,B,B段弦的原长近似为dx.,振动拉伸后：,B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量 m= dx
4、,物理规律：,用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：,牛顿运动定律：,沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程,沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程,在微小振动近似下：,由（1）式，弦中各点的张力相等,（1）,（2）,波动方程：,波速a,受迫振动方程,单位质量弦所受外力，线力密度,令,一维波动方程,一维波动方程,-非齐次方程,-齐次方程,忽略重力和外力作用：,如考虑弦的重量：,沿x方向，不出现平移,沿垂直于x轴方向,（1）,（2）,因为：,所以有：,讨论：,6.2 定 解 条 件,数学物理方程的定解 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某
5、个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,1 数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。 2 定解条件：边界条件和初始条件的总体。 它反映了问题的特殊性，即个性。,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,A、 波动方程的初始条件,描述系统的初始状态,系统各点的初位移系统各点的初速度,（一） 初始条件,波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件,热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件,此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件,和 是空间坐标的函数,注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不
6、是某一位置处的情况。,解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程,初始位移,初始速度,（二）边界条件,定义：系统的物理量在边界上具有的情况。,A.第一类（狄利克雷）边界条件,给出未知函数在边界上的函数值。,例2：两端固定的弦振动时的边界条件：,和,常见的线性边界条件分为三类：,例3：细杆热传导,细杆在x=l端的温度随时间变化,设温度变化规律为f(t),边界的数理方程,细杆x=l端的温度处于恒温状态,边界的数理方程,第一类边界条件的基本形式：,B.第二类（诺伊曼）边界条件,给出未知函数在边界上的法线方向的导数之值。,第二类边界条件的基本形式：,C .第三类（混合）边界条件,第三类边界条件的基本形式：,例 8 长为 l 的弦在 x=0 端固定，另一端 x=l 自由，,且在初始时刻 t=0 时处于水平状态，初始速度为 x(l-x),，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.,解 （1）确定泛定方程：,弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程,(2)确定边界条件,对于弦的固定端，显然有 u(x,t)|x=0=0, ux(x,t)|x=l=0,另一端自由，意味着弦的张力为零则,(3)确定初始条件,初始速度,综上讨论，故定解问题为,
