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1、2023/11/14,1,想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿,第二篇 数学物理方程,参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，实用偏微分方程（原书第四版），机械工业出版社，2007,2023/11/14,2,第七章 数学物理方程的定解问题,在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。拉普拉斯,2023/11/14,3,一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示,泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。,数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。,重点讨论：二阶线性偏微分方程。,例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。
2、,2023/11/14,4,三类典型的数学物理方程,三类典型的数学物理方程,退化为拉普拉斯方程,2023/11/14,5,5,1 边界问题-边界条件,体现边界状态的数学方程称为边界条件,2 历史问题-初始条件,体现历史状态的数学方程称为初始条件,例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。,三、定解问题 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性
3、。,二、定解条件,2023/11/14,6,6,具体问题求解的一般过程：,1、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律,2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件求解所必须的已知条件,3、求解方法 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法,2023/11/14,7,7.1 数学模型（泛定方程）的建立,建模步骤：,（1）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。,（2）研究物理量遵循哪些物理规律？,（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。,2023/11/14,8,(一）均匀弦横振动方程,现象描述（如图）：沿x轴绷紧的均匀柔软
4、的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程 设定:(1)弦不振动时静止于x轴;(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况,弦的横振动,2023/11/14,9,选取不包括端点的一微元x,x+dx弧B段作为研究对象.,研究对象:,(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：,假设与近似：,(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略,质量线密度，,B,2023/11/1
5、4,10,B段弦的原长近似为dx.,振动拉伸后：,B段的质量：弦长dx，质量线密度，则B段质量 m=dx,物理规律：,用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：,牛顿运动定律：,2023/11/14,11,沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程,沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程,在微小振动近似下：,由（1）式，弦中各点的张力相等,（1）,（2）,2023/11/14,12,波动方程：,波速a,受迫振动方程,单位质量弦所受外力，线力密度,令,一维波动方程,2023/11/14,13,一维波动方程,-非齐次方程,-齐次方程,忽略重力和外力作用：,如考虑弦的重量：,沿x-方
6、向，不出现平移,沿垂直于x-轴方向,（1）,（2）,因为：,所以有：,讨论：,2023/11/14,14,（二）输动问题-扩散问题,扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。,扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律,数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程 物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础,粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量,处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。,2023/11/14,15,浓度不均匀:用浓
7、度梯度 表示；,扩散流强弱（强度）：用单位时间通过单位面积的物质的量 表示；,扩散（裴克）实验定律：,扩散系数,设定：,处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。,扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定律确定,体元内粒子数：,2023/11/14,16,考察沿x-方向扩散流情况：,单位时间沿x-方向净流入量,同理沿y 和沿z方向净流入量,由粒子数守恒定律，有,负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反,单位时间内向V的净流入量,下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。,单位时间内V内粒子数的增加量,2023/11/14,17,如果扩散是均匀的,即D是一常
8、数，则可以令D=a2，则有,代入扩散定律,三维扩散方程,如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为,如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为,讨论：,2023/11/14,18,密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。,有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程,稳定状态：密度u 不随时间变化，则,泊松方程,无扩散源：F=0,拉普拉斯方程,（三）泊松方程或拉普拉斯方程:稳定场问题,2023/11/14,19,例1 热传导,所要研究的物理量：,温度,物理规律：采
9、用傅里叶实验定律,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。,数学建模：,傅里叶定律：,温度不均匀:用温度梯度 表示；,传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单位面积的热量 表示；,设定：,沿曲面法向流出热量：,热传导系数,2023/11/14,20,有限时间内即时刻t1到t2通过闭曲面S流入V的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）,处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包围的体积元V（如图）。,在S 上选取任一足够小的微面元dS，在此面元范围内热流强度近似为常量。,那么在dt时间内从dS流入V的热量为(向为正)：,2
10、023/11/14,21,流入的热量导致V内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量(c比热容，质量密度)：,热传导方程,如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程,总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两者本质不同，但满足同一微分方程,2023/11/14,22,例2 静电场电势问题。,介质方程:,其中:,物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质方程。,数学建模：建立电势u(x,y,z)与电荷密度(x,y,z)的关系。,由电场的高斯定理,物理问题：在介电常数为的介质空间，存在电荷分布(x,y,z)激发电场 形成电势分布u(x,y,z)。,2023/
11、11/14,23,称这个方程为拉普拉斯方程.,由电场的环路定理，可知静电场是一个保守场.由保守场的性质，引入电势u,且电场是电势梯度的负值，即：,进一步对电场取散度，有：,泊松方程,设电势为:u(x,y,z)。,2023/11/14,24,7.1 3.4.,本讲作业,2023/11/14,25,7.2 定解条件,数学物理方程的定解 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,1 数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。2 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。,202
12、3/11/14,26,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,A、波动方程的初始条件,描述系统的初始状态,系统各点的初位移系统各点的初速度,（一）初始条件,波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件,热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件,此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件,2023/11/14,27,和 是空间坐标的函数,注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是某一位置处的情况。,解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程,初始位移,初始速度,2023/11/14,28,（
13、二）边界条件,定义：系统的物理量在边界上具有的情况。,A.第一类（狄利克雷）边界条件,给出未知函数在边界上的函数值。,例2：两端固定的弦振动时的边界条件：,和,常见的线性边界条件分为三类：,2023/11/14,29,例3：细杆热传导,细杆在x=l端的温度随时间变化,设温度变化规律为f(t),边界的数理方程,细杆x=l端的温度处于恒温状态,边界的数理方程,第一类边界条件的基本形式：,2023/11/14,30,B.第二类（诺伊曼）边界条件,例4：细杆热传导 我们用傅里叶(热传导)定律来建立边界的数学物理方程.傅里叶实验定律:单位时间内,通过单位面积的热流为,给出未知函数在边界上的法线方向的导数
14、之值。,第二类边界条件的基本形式：,细杆x=a端点绝热的边界条件：,设细杆沿x轴方向,则一维傅里叶实验定律改写为,其中u是所在位置处物体的k是传热系数。,细杆x=a端点有热流kf(t)流出的边界条件：,2023/11/14,31,（3）.第三类（混合）边界条件,牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面流入周围介质的热流（即流出热流）为,式中u是物体表面的温度，是周围介质的温度，h是热交换系数。,在一维情况下，牛顿冷却定律简化为,一维傅里叶实验定律,先引入两个基本物理定律：,2023/11/14,32,例5：写出导热细杆l端“自由”冷却的边界条件。,根据热传导定律，在 x=l 处：,在x=0
15、处：,流出热流强度,由牛顿冷却定律，此流出热量与细杆和外界的温度差成正比，即,即：,讨论：如图情况,2023/11/14,33,例6：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力,胡克定律：,弹性力：,则在端点,这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。,（三）衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点)。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。,第三类边界条件的基本形式：,2023/11/14,34,这两个等式就是构成两段衔接的是衔接条件。,折点处，横向力应与张力平
16、衡：,即,折点处位移极限值相同。,弦在折点x0的左右斜率不同。,即斜率有跃变，则uxx在折点x0不存在，也即此点处弦振动方程不成立。只能把弦以x0为界分为二段。,例7,横向力F(t)集中作用于弦上x0点,使x0点成为折点（如图）。,但二段是同一根弦，它们间相互关连。因此要建立此关系：,2023/11/14,35,例 8 长为 l 的弦在 x=0 端固定，另一端 x=l 自由，,且在初始时刻 t=0 时处于水平状态，初始速度为 x(l-x),，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.,解（1）确定泛定方程：,弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程,(2)确定边界条件,对于弦的固定端
17、，显然有 u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0,另一端自由，意味着弦的张力为零则,2023/11/14,36,(3)确定初始条件,初始速度,综上讨论，故定解问题为,2023/11/14,37,例9 在均匀静电场E0 中置入半径为R0 的导体球，若导体 球接有稳恒电池，使球与地保持电势差u0。试写出电势u满足的泛定方程与定解条件。解：选z轴沿均匀外电场E0的方向，见图1。,2023/11/14,38,设球内外电势分别用u0、u1 表示。（1）泛定方程。因为除球面上(R=R0)有自由电荷分布外，球内外的f=0，故（2）定解条件 给出球面与无限远最势满足的规律。球面处：球面上电势连续
18、，即有边界条件,2023/11/14,39,现在计算上式从 到 的积分。由于在静电场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路线l为直线，如图(1)所示。将 Ecos作为常数提出积分号外，并将u(R0)=u0 代入，便有边界条件,无限远处：可以把导体表面有限的电荷分布产生的电势和电势u0看成点电荷和点电势源,由于点电荷在无限远处的贡献可以忽略不计，故可把目前问题简化为点电势在空间的分布问题。对于点电势，随着离开点势源的距离l的增加,电势是减少的,由图(1)可得,2023/11/14,40,7.21.3.5.7,本讲作业,2023/11/14,41,(一)线性二阶偏微分方程,(1)偏微分方程
19、含有未知多元函数及其偏导数的方程，如,有时为了书写方便，通常记,7.3 数学物理方程的分类*,2023/11/14,42,(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶,(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数,(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程,(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程,(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项,2023/11/14,43,（7）
20、方程的通解,（8）方程的特解,方程的解含有任意元素（即任意常数或任意函数）,2023/11/14,44,1.二阶线性偏微分方程的一般形式,a11,a12,a22,b1,b2,c,f 只是 x,y 的函数。,f 0 方程为齐次的;否则,为非齐次的.,叠加原理,定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件。,泛定方程、定解条件都是线性,(二)二阶线性偏微分方程的分类,2023/11/14,45,2.二阶偏微分方程的化简,作变换：,为使变换非奇异，其雅克比行列式满足,变换运算,有,即,2023/11/14,46,采用
21、新变量后的方程,其中,2023/11/14,47,注意A11和A22形式相同，和用z表示，如果,则有（或）,二阶线性偏微分方程的特征方程,特征方程的根为：,通过求解此微分方程可以得到变换函数（特征线），从而线性偏微分方程得以简化。,2023/11/14,48,定义：,也就是说，偏微分方程(1)有两条实的特征线于是取,方程可化为：,作为新的自变量，此时有：,2023/11/14,49,或者进一步作变换,于是有,所以,又可以进一步将方程化为,形式我们前面建立的波动方程就属于此类型,这种类型的方程称为双曲型方程，是双曲型方程的标准,2023/11/14,50,2当判别式,时：这时方程重根,特征线为一
22、条实特征线,作变换,任意选取另一个变换，,只要它和,彼此独立，即雅可比式,2023/11/14,51,方程可化为：,此类方程称为抛物型方程热传导（扩散）方程就属于这种类型,2023/11/14,52,3.当判别式,面的讨论，只不过得到的,时：可以重复上,和,是一对共轭的,复函数，或者说，两条特征线是一对共轭复函数族:,是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量,于是,2023/11/14,53,所以,方程进一步化为,这种类型的方程称为椭圆型方程拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型,2023/11/14,54,小结：,=a212 a1
23、1a22,判别式,0 双曲型=0 抛物线型 0 椭圆型,波动方程（一维）,热传导方程（一维）,拉普拉斯方程（二维）,稳定场方程,波动方程,热传导方程,2023/11/14,55,例9 判断下面方程的类型,解（1）因为判别式,故方程为双曲型,故方程为椭圆型,(1),(2),（2）因为判别式,2023/11/14,56,7.4 达朗贝尔公式 行波解,这是一种类似于常微分方程方程求解的方法，这种方法解波动方程的基本思想是：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,（一）达朗贝尔公式,思路：,2023/11/14,57,引入新
24、变量：,采用复合导数求导法,类似地,即：,2023/11/14,58,再积分：,f2(x-at)是以速度 a 沿 x 轴正方向运动的行波,f1(x+at)是以速度 a 沿 x 轴反方向运动的行波。,2023/11/14,59,确定待定函数的形式,无限长，即无边界条件,设初始条件为,和,(2)达朗贝尔公式,2023/11/14,60,设初速度为零,由达朗贝尔公式,2023/11/14,61,设初位移为零,假使初始速度在区间x1,x2上是常数0,其中,解：,2023/11/14,62,t=0,t1,t2,t3,2023/11/14,63,（二）端点的反射,一个端点固定,设初始条件为,和,边界条件,
25、达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x0,tx/a时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t)延拓到这个范围,，作奇延拓：,半无限长弦的自由振动,2023/11/14,64,2023/11/14,65,半波损失,只有初始位移，没有初始速度,开始反射,2023/11/14,66,一个端点自由,设初始条件为,和,边界条件,应该是偶延拓,2023/11/14,67,无半波损失,只有初始位移，没有初始速度,开始反射,2023/11/14,68,（三）跃变点的反射,无限长杆，x0 两部分的杨氏模量和密度分别为。x=0 是跃变点。,设有行波 从区域 I 向 x=0 点运动。到x=0 产生反射和透射
26、。,取此波在 t=0 时刻抵达 x=0.,衔接条件,2023/11/14,69,区域 II 中，只有透射波,衔接条件,区域 I 中的行波：,2023/11/14,70,又,反射系数,透射系数,2023/11/14,71,从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。,达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加,2023/11/14,72,例9,设初始条件为,和,边界条件,定解问题,端点自由时的解,分解,分析：,2023/11/14,73,解：通解为,定解条件,求：,2023/11/14,74,求,2023/11/14,75,例11 求解Goursat问题,解：令,2023/11/14,76,7.41.2.4.8,本讲作业,2023/11/14,77,
