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1、1,数理方程与特殊函数,2,本章主要介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊松方程的狄氏问题。,主要内容,第六章 格林函数法,(一)、格林公式及调和函数性质,(二)、泊松方程狄氏问题格林函数法,(三)、几种特殊区域上狄氏问题格林函数,(四)、三类典型方程的基本解问题,授课时数：10学时,3,本次课主要内容,(一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题,(二)、三个格林公式,格林公式及调和函数性质,(三)、调和函数的概念与性质,4,Laplace方程 :,Poisson方程 :,1、Dirichlet问题（第一类边值问题）,(一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题,5,Laplace方程 :,Po
2、isson方程 :,2、Neumann问题（第二类边值问题）,6,Lap lace方程 :,Poisson方程 :,3、Robin问题（第三类边值问题）,7,借助于三个格林公式，可以得到拉氏方程与泊松方程洛平问题与狄氏问题解的积分表达式。三个格林公式可以借助于高斯公式导出。,(二)、三个格林公式,高斯公式：,设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，S的方向取外侧，则：,或,8,设u (x, y, z), V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：,1、第一格林公式,证明：,9,由高斯公式：,10,设u(x,y,z),V
3、(x,y,z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：,2、第二格林公式,证明：由第一格林公式得：,用(1)-(2)得第二格林公式。,11,设M0是V内一点，M是V中的动点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：,3、第三格林公式,12,证明：,球面：,球心：,半径：,由高斯公式可得：,通过直接计算得：,13,又因球面方向指向内侧，与r方向正好相反，所以：,又由于：,14,所以，当0时，得到：,于是得到第三格林公式：,4、泊松方程洛平问题解的积分表达式,定理1：泊松方程洛平问题,15,的解为：,其中，n为曲面S的外法线。,16,推论1：拉氏方程洛平
4、问题,的解为：,n为曲面S的外法线。,17,1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在 上具有二阶连续偏导数；(2),(三)、调和函数的概念与性质,称u为V上的调和函数。,2、调和函数的性质。,性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有,证明：第二Green公式 :,18,取,则：,所以 :,推论1：拉氏牛曼问题,有解的必要条件是：,19,证明：若定解问题有解，因u为V上调和函数，由性质1，,性质2 设u(x,y,z) 是区域V上的调和函数，则有 :,证明：由第三格林公式，注意到u是调和函数，即得：,20,性质3 : (平均值定理) 设u (x, y, z)是区域V
5、上的调和函数，M0是V中任意一点，SR是以M0为心，R为半径的球面，且该球完全落在V的内部，则有：,21,证明:把性质2和性质1用到vR上有：,22,性质4(极值原理) 设u(x,y,z)是有界闭区域 V内的调和函数， 在V上连续, 且u ( M )常数，则 u(M)的最大值和最小值只能在边界面S上取得。,证明：若不然，设u在V内某点M1取得最大值。我们可以推出在V上， u ( M )=常数，从而产生矛盾。,首先：以M1为心，R为半径在V内作球VR，其球面设为SR.,23,可以证明：在SR上，有u(M)=u(M1),若不然，设球面上有点M，使得u(M)u(M1),则由连续函数保号性，存在M的一
6、个邻域，使得在该邻域内有u(M)u(M1),于是：,但是，由平均值定理：,于是，产生矛盾！,于是，对于以M1为心，在任意的rR为半径的球面上有u(M)=u(M1),24,所以，我们得到：在VR上有u(M)=u(M1),其次，可以证明：在V上任何一点T，有u(M)=u(M1)。,先用折线把M1和T连接起来，并设整个折线与V的边界的最短距离为d.,以M1为心,小于d的任意数为半径作球K1。设该球与折线相交于M2，则：u(M1)=u(M2)；,25,又以M2为心,小于d的任意数为半径作球K2。设该球与折线相交于M3，则：u(M3)=u(M1)；,如此推下去，得到球Kn，使得它包含点T,且有：u(T)
7、=u(M1)；,这样，我们推出了u(M)在V上为常数。与条件矛盾！,26,由调和函数极值原理，可以推出如下几个结论：,推论1 设u为有界闭区域V 内的调和函数，在闭区域V 上连续，如果还在边界面S上为常数K，则它在内各点 的值也等于常数K。,证明：由极值原理：u在V上的最大值最小值都只能在S上取得，所以：u|V=k.,27,推论2 设u是在有界区域 V上的调和函数，且在闭区域 V上连续，如果还在边界面S上恒为零，则它在内各点处的值都等于零。,证明：由推论1即得证明。,推论3 设在有界区域V内的两个调和函数，在闭区域V 上连续，如果它们还在区域的边界面S上取相等的值，则它们在V内所取的值也彼此相
8、等。,证明：设两个函数分别为u(x,y,z)与v(x,y,z).作函数：,28,则F(x,y,z)在边界S上取值为0。由推论2即可得结论。,应用举例,例1 求定解问题：,解：这是拉普拉斯方程洛平问题。由调和函数极值原理，在V上u=1,同时，当u=1时，显然满足定解问题。所以定解问题解应为u=1。,29,例2 求定解问题：,解：这是泊松方程洛平问题，其解为：,30,例3 求定解问题：,解：这是泊松方程狄氏问题。,采用特解法先把泊松方程化为拉普拉斯方程。,容易知道，该泊松方程的一个特解为：,于是令：,31,得到：,由极值原理：,所以，原定解问题的解为：,32,例4 求证：,是n维调和函数。其中：,
9、C1,C2是常数。,证明：(1) n=2时,33,同理：,所以：,(2) n2时.,所以：,34,Thank You !,35,性质4(极值原理) 设u(x,y,z)是有界闭区域 V内的调和函数， 在V上连续, 且u ( M )常数，则 u(M)的最大值和最小值只能在边界面S上取得。,证法二：若不然，设u在V内P0(x0,y0,z0)取得最大值为M0，而u在S上的最大值为M*,则：M*M0,作函数,其中P(x,y,z)是V中点，R是包含V的球体半径。,附录,36,但一方面，v(x,y,z)在V内取最大值时，其海色矩阵：,必为负定矩阵，即:(-1)kDk0,于是得到：,则在S上有：,又因为v(x0,y0,z0)=M0,说明v(x,y,z)必在V内取最大值。,37,这就产生矛盾！,但另一方面：由v(x,y,z)的定义可以算出：,
