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1、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,区域 D 分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域 D 边界L 的正向:域的内部靠左,定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,证明:,1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且,则,即,同理可证,、两式相加得:,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,例1.,设 L 是一条分段光
2、滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,例2.计算,其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,例3.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式,得,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止
3、点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,证明(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,
4、3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,例4.计算,其中L 为上半,从 O(0,0)到 A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D,则,例5.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,例6.验证,在右半平面(x 0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,例7.设质点在力场,作用下沿曲线 L:,由,移动到,求力场所作
5、的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考:积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关!,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1+L2.,解,因此，积分与路径无关。,则 P，Q 在全平面上有连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：L1+L2.,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2.设,提示:,备用题 1.设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到,点B(3,4),到原点的距离,解:由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为,
