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1、机器人技术数学基础Mathematic Preparation for Robotics,2.1 位置和姿态的表示2.2 坐标变换2.3 齐次坐标变换2.4 物体的变换及逆变换2.5 通用旋转变换,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单位主矢量xB,yB,zB相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 上述矩阵称为旋转矩阵
2、,它是正交的.即 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义:1) 可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵.2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 .3) 可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用
3、刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换平移坐标变换 坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换2.旋转变换 坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换3.复合变换 一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有: (2-13),Robotics 数学基础,2.2 坐标变换例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合,首先B相对于A的ZA轴转30,再沿A的XA轴移动12单位,并沿A
4、的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在B坐标系中的位置为BP=3,7,0,求它在坐标系A中的位置.,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换1.齐次变换 (2-13)式可以写为: (2-14)P点在A和B中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为: (2-15,16),Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换2.平移齐次坐标变换 A分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.,Robotics 数学基础
5、,2.3 齐次坐标变换3.旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。,例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述基础上再平移（4，-3，7）。,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及 逆变换1.物体位置描述 物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。,Robotics 数学基础,2.4 物体
6、的变换及逆变换1.物体位置描述,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换2.齐次坐标的复合变换B相对于A: ABT; C相对于B: BCT;则C相对于A:,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换3.齐次坐标的逆变换B相对于A: ABT; A相对于B: BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换3.齐次坐标的逆变换一般,若则,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换 及逆变换3.变换方程初步B:基坐标系T:工具坐标系S:工作台坐标系G:目标坐标系 或工件坐标系满足方程,Robot
7、ics 数学基础,习题:P43, 题2.3P44, 题2.9,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩阵.S:物体上固接的坐标系T:参考坐标系C:Z轴与f重合的辅助坐标系,xT,YT,ZT,T,C,S,zS,f, Zc,O,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为， 目前上式在T无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题 变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中，变换 为：4
8、）在C中绕Z轴旋转有：5）将C中坐标变换回T中有，,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换步骤2）和5）中的结果应该相同，即：由于C的Z轴与f重合,所以,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换根据坐标轴的正交性, ,有令 ,则,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换2.等效转角与转轴给出任一旋转变换,能够由上式求得进行等效旋转角的转轴.已知旋转变换R,令R=Rot(f,),即有将上式对角线元素相加,并简化得,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换非对角元素成对相减,有平方后有设 ,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换例2-7 一坐标系B与参考
9、系重合,现将其绕通过原点的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换一般情况,若f不通过原点,而过q点(qx,qy,qz),则齐次变换矩阵为:其中,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换例2-8 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过q=1,2,3T的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算Matlab是美国Mathworks公司推出的数值计算软件.在数值计算及科学研究中,是其它语言无法相比的.其主要特点有:1.语言简洁紧凑,使用方便灵活,库含数极其丰富.2.具有非常多的矩阵
10、函数,矩阵计算异常方便.3.具有多种功能的工具包.4.具有与FORTRAN、C等同样多的运算符和结构控制指令的同 时，语法限制却不严格，使程序设计很自由.5.图形功能强大,数据可视化好.6.原程序和库函数代码公开.但.程序执行效率较低.本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用.,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算矩阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作) 以 作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作) 先在工作区定义矩阵,用编辑器修改矩阵.3)用函数创建矩阵,如.(操作) zeros(m,n):零矩阵 ones(m,n):全部元素都为1的矩阵
11、 eye(m,n):单位阵 randn(m,n):正态分布的随机矩阵 vander(A):由矩阵A产生的Vandermonde矩阵,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算矩阵的计算.(操作)1)加减2)转置3)乘法4)除法与线性方程组5)逆6)幂和指数,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算例: 计算:,Robotics 数学基础,习题:2.3坐标系B初始与A重合,让B绕ZB旋转角;然后再绕XB转角.求把BP变为AP的旋转矩阵.,Robotics 数学基础,习题:2.3变化坐标系B初始与A重合,让B绕ZB旋转角;然后再绕XA转角.求把BP变为AP的旋转矩阵.,R
12、obotics 数学基础,习题:2.3变化坐标系B初始与A重合,让B绕ZB旋转角;然后再绕XA转角.求把BP变为AP的旋转矩阵.,Robotics 数学基础,习题:2.9将图(a)变换到(b).,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,Robotics 数学基础,习题:2.9 解二,Robotics 数学基础,习题:2.9 解二,Robotics 数学基础,习题:2.9 解二,Robotics 数学基础,习题:2.9 解三,Robotics 数学基础,习题:2.9 解三,Robotics 数学基础,习题:2.9 解三,
