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1、,Chapter5 Stresses in beams,第五章 弯曲应力,5-1 引言 ( Introduction) 5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) 5-3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) 5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition),第五章 弯曲应力 (Stresses in beams),5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the stren
2、gth of beams),伽利略 Galilei (1564-1642),此结论是否正确？,观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释,为什么开孔？,为什么加钢筋？,施工中如何安放？,孔开在何处？,可以在任意位置随便开孔吗？,你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？,一、弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members),当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.,5-1 引言 (Introduction),只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩.,只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才
3、能合成剪力；,所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.,二、分析方法 (Analysis method),简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.,若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.,三、纯弯曲（Pure bending),5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ),1、实验（ Experiment）,（1）变形现象（Deformation phenomenon ),纵向线,相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线
4、，,横向线,2.提出假设 ( Assumptions）,（a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；,（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.,推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层,中性轴 横截面对称轴,应变分布规律：,直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.,二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）,三、物理关系(Physical relationship),所以,Hookes Law,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.,应力分布规律：,?,待解决
5、问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径r,四、静力关系 (Static relationship）,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.,内力与外力相平衡可得,（1）,（2）,（3）,将应力表达式代入（1）式，得,将应力表达式代入（2）式，得,将应力表达式代入(3)式，得,中性轴通过横截面形心,中性轴为主惯性轴,自然满足,得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩；,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.,（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁
6、变形后凸出边的应力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）；,（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,（1）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式,当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,一、横力弯曲(Nonuniform be
7、nding),虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula ),1.在弹性范围内(All stresses in the beam are below the proportional limit),3.平面弯曲（Plane bending）,4.直梁（Straight beams）,2.具有切应力的梁（The beam with the shear s
8、tress）,注意,（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，,（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；,从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；,（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，,（4）中性轴上正应力为零，,并确定该点到中性轴的距离，,而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。,以及该点处应力的符号,弯矩画在受压侧，可根据弯矩正负号确定是拉还是压。,2.强度条件的应用(Application of strength condition),（2）设计截面,（3）确定许可载荷,（1） 强度校核,对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的,要求分别不超过材料的许用
9、拉应力和许用压应力,三、强度条件（Strength condition),1.数学表达式（Mathematical formula),梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.,例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a150mm，压板材料的弯曲许用应力s140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.,解：（1）作出弯矩图的最大弯矩为Fa；,（2）求惯性矩，抗弯截面系数,（3）求许可载荷,例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用拉应力为 t = 30MPa ，许用压应力为c =160MPa. 已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校
10、核梁的强度.,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面,1、塑性材料,抗拉压强度相等,无论内力图如何,梁内最大应力,其强度条件为,通常将梁做成矩形、圆形、工字形等,对称于中性轴的截面；,此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。,因此：,强度条件可以表示为,2、脆性材料,抗拉压强度不等。,梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在,通常将梁做成T形、倒T形等,关于中性轴不对称的截面。,离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。,由于脆性材料抗压不抗拉，,或者, 脆性材料梁的危险截面与危险点,上压下拉,上拉下压,危险截面只有一个。,危险截面处分别校核：,二个强度条件表达式,危险截面有二个；
11、,每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；, 脆性材料梁的危险截面与危险点,各危险截面处分别校核：,四个强度条件表达式,上下非对称的脆性材料梁强度校核问题注意：,1.最大正弯矩M1要校核；,2.最大负弯矩M2也要校核；,3.M1和M2中绝对值大的，拉和压都要校核，另外一个则只需校核y大的那个应力（有可能是拉，也有可能是压）,例题3 由 n 片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于,解：每一薄片中的最大正应力,z,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in bea
12、ms）,1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section),5-4 梁的切应力及强度条件,（1）两个假设(Two assumptions),（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.,距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式,（2）分析方法(Analysis method),（a）用横截面m-m , n-n从梁中截取 dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所以两截面同一y处的正应力也不等；,目标：,（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.,（3）公式推导(Derivation
13、of the formula),假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.,A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,式中：,为面积A1对中性轴的静矩.,化简后得,由平衡方程,各项的物理意义,1、Fs,欲求切应力的点所在截面的剪力；,2、Iz,欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；,3、b,欲求切应力的点处截面的宽度（截开的面的宽度）；,4、Sz*,横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩。,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）t=0,式中，A=bh为矩形截面的面积.,y=0
14、（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,（4）切应力沿截面高度的变化规律,2.工字形截面梁（工-section beam),假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为,b 腹板的厚度, 距中性轴为y的横线以外部分的横截 面面积A对中性轴的静矩.,（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,tmin,tmax,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,3.圆截面梁(Beam of circular cross section),最大切应力发生在中性轴上,式中 A=2r0 为环形截面的
15、面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,z,y,r0,二、强度条件（Strength condition）,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力；,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.,max,4.圆环形截面梁(Circular pipe beam),例题：课后习题5.27,解：,查型钢表：,由平行移轴公式,每个铆钉所承受的剪力为：,校核铆钉的剪切强度,所以铆钉安全,例题4 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F
16、 = 30 kN. 跨长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲切应力= 100MPa ，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在梁中间位置时有最大正应力 .,（a）正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,（b）切应力强度校核,在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.,查型钢表中，20a号工字钢，有,d=7mm,据此校核梁的切应力强度,以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.,例题5 简支梁AB如图所示. l2m，a0.2
17、m. 梁上的载荷为q为10kN/m，F200kN.材料的许用应力为=160MPa，100MPa，试选择工字钢型号.,解：（1）计算支反力做内力图.,（2）根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表，选用22a工字钢，其Wz309cm3,（3）校核梁的切应力,腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过t很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,例题6 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度 2.2mm的钢板加强,加强段的横截面尺寸如图所示.已知
18、许用弯曲正应力=152MPa，许用切应力 =95MPa.试校核此梁的强度.,解：加强后的梁是阶梯状变截面梁. 所以要校核,（3）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.,（2）F靠近支座时支座截面上的切应力；,（1）F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力；,（1）校核F位于跨中截面时的弯曲正应力,查表得20a工字钢,62.5kNm,最大弯矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.,抗弯截面系数,（2）校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度.,2.2m,F,1.41m,2.5m,5m,A,B,C,D,1.4m,FRB,FRA,该截面上的最大弯矩为,从型钢
19、表中查得20a工字钢,梁不能满足正应力强度条件.,为此应将加强板适当延长.,（3）校核阶梯梁的切应力,F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置,请同学们自行完成计算.,5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams),一、降低梁的最大弯矩值,1.合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件,2.合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩最小.,二、增大Wz,1.合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似.,合理截面,伽利略1
20、638年关于两种新科学的对话和证明,“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，,所以在技术上得到广泛应用。,在自然界就更为普遍了，,这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，,它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“,2.合理的放置,合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。,对于塑性材料,宜设计成关于中性轴对称的截面,对于脆性材料,宜设计成关于中性轴不对称的截面,且使中性轴靠近受拉一侧。,三、根据材料特性选择截面形状,T字形截面形心的合理位置：,要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁.,例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,第五章结束,
