材料力学：弯曲切应力ppt课件.ppt

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1、弯 曲 切 应 力,对称弯曲的概念及计算简图,梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件,梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件,平面刚架和曲杆的内力图,梁的合理设计,返回,图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。,4-5 梁横截面上的切应力 切应力强度条件,一、梁横截面上的切应力,1. 矩形截面梁,（1）推导公式的思路,剪力产生 切应力。,两横截面上均有剪力和弯矩。,弯矩产生 正应力，,两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用 y 表示）其正应力也不等。,正应力（）分布图,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,m,n,n,m,o,h,b,d

2、x,x,y,z,此面上也就有切应力 ,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,因为微元段 dx 的长度很小，所以假设切应力在 AB1 面上均匀分布。,A,dFs,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,dx,A,dFs,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,dx,AB1 面的 AA1线各点处有切应力。且各点的切应力相等。,A,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,dx,根椐切应力互等定理，在横截面的横线 AA1 上也应有切应力 。,且横截面的横线AA1上各点的切应力相等。,dFs,由静力平衡方程，求出 dFs。,推导公式的步骤,1,2,3,4,dFs 除以 AB1

3、面的面积得纵截面上的切应力 。,由此得到横截面上距中性轴为任意 y 的点上的切应力 。,A,dx,b,dFs,（2）公式推导,x,z,假设 mm , nn上的弯矩为 M 和 M+dM 。,两截面上距中性轴 y1 处的正应力为 1 和 2 。,用 A* 记作 mA1 的面积,x,z,Sz*是面积 A* 对中性轴 z 的静矩。,同理,A*为横截面距中性轴为 y 的横线以外部分 mA1 的面积。,x,z,x,z,x,z,dx,b,x,z,dx,b,上式为 矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。,Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩,b 矩型截面的宽度,Sz* 过求切应力的点做与中性轴平

4、行的直线，该线任一边的横截面面积对中性轴的静矩, 其方向与剪力 Fs 的方向一致,3. 切应力沿截面高度 的变化规律,n,B,m,A,x,y,z,O,y, 沿截面高度的变化由静矩 Sz* 与 y 之间的关系确定。,n,B,m,A,x,y,z,O,y,b,h/2,A1,B1,m1,可见 ，切应力沿 截面高度按抛物线规律变化。,式中 ， A = b h , 为矩形截面的面积 。,矩形截面切应力沿截面高度的变化如图所示。,max,截面静矩的计算方法,A,A 为截面面积,yC 为截面的形心坐标,例题1：一矩形截面简支梁。已知 l = 3m，h = 160mm，b = 100mm， h1 = 40mm，

5、F = 3kN，求 mm 上 K 点的切应力。,b,h,z,K,h1,解：因为两端的支座反力均为 F=3kN,所以 mm 截面的剪力为 Fs = 3kN,b,h,z,K,h1,A*,2. 工字形截面梁横截面 腹板上 的切应力,假设求应力的点到中性轴的距离为 y 。,t,o,y,h,b,x,d,z, 距中性轴为 y 的横线以外部分的横截面面积 对中性轴的静矩。,d 腹板的厚度,（ 2 ）最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。,（ 1 ）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化 。,式中, 中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩 。,3. 薄壁环形截面梁,图 式 为薄壁环

6、形梁横截面截面。环壁厚度为 ，环的平均半径为 r0 。（ r0 ）,（1）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。,（2）切应力的方向与圆周相切。,假设：,A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,4. 圆截面梁,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。,y,z,o,d,假设：,（1）沿宽度 kk上各点处的切应力均汇交于 o 点 。,（2）各点处切应力沿 y 方向的分量沿宽度相等 。,y,z,o,d,为圆截面的面积,最大切应力发生在中性轴上,5. 等直梁横截面上最大切应力的一般公式,对于 等直梁 ，其最大切应力 max 一定在最大剪力 Fs,max所在的横截面上，而且

7、一般说是位于该截面的中性轴上。,全梁各横截面中最大切应力可统一表达为,b 横截面在中性轴处的宽度, 全梁的最大剪力, 整个横截面对中性轴的惯性矩, 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩,例题2 ：图示简支梁由 56 号 a 工字钢制成。求梁的最大切应力 max 和同一截面腹板部分 a 点处的切应力 a ，并分析切应力沿腹板高度的变化规律 。,a,166,560,21,12.5,z,解：作剪力图,a,166,560,21,12.5,z,查型钢表,和,a,166,560,21,12.5,z,a 点以外的截面面积对中性轴的静矩 为,a,166,560,21,12.5,z,d,t,h,t,b,z,切应

8、力的变化规律应与 Sz* 的变化规律相同。,1,此式说明 沿腹板高度按二次抛物线规律变化。,二、梁的切应力强度条件,对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处 。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处 。,等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力 = 0 ，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。,讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁 C , D , E , F , G , H 各点的应力状态 。,E,G,H,C,D,F,m,q,l,m

9、,在最大弯矩截面上，距中性轴最远的 C 和 D 点处于单轴应力状态 ；在最大剪力截面上，中性轴上的 E , F 点处于纯剪切应力状态 ; 而 G , H 点处于一般应力状态。,C , D 为单轴应力状态,E,G,H,C,D,F,m,q,l,m,E , F 为纯剪切应力状态,E,G,H,C,D,F,m,q,l,m,G , H 为一般应力状态,E,G,H,C,D,F,m,q,l,m,仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式，即,梁的切应力强度条件为,式中 ： 为材料在横力弯曲时的许用切应力。,为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩,在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。

10、,例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度,梁的跨长 l=3m ,横截面为, 许用弯曲正应, 许用切应力, 校核梁的强度。,力,(1) 梁的正应力强度校核,最大弯矩发生在跨中截面上，其值为,梁横截面的的抗弯截面系数为,横截面上的最大正应力,(2) 梁的切应力强度校核,矩形截面的面积为,梁横截面上的最大切应力,梁最大的剪力为,所以此木梁是安全的。,例题4 ：一简易起重设备如图 a 所示。起重量（包含电葫芦自重）F = 30 KN。跨长 l = 5 m。吊车大梁 AB 由 20a 工字钢制成。其许用弯曲正应力 = 170MPa，许用弯曲切应力= 100MPa ，试校核梁的强度。,解：此吊车梁可

11、简化为简支梁,力 F 在梁中间位置时有最大弯矩 。,由型钢表查得 20 a 工字钢的,所以梁的最大正应力为,(1) 正应力强度校核,(2) 切应力强度校核,在计算最大切应力时，应取荷载 F 在紧靠任一支座。例如支座 A 处所示 ，因为此时该支座的支反力最大 ，而梁的最大切应力也就最大。,5m,A,B,查型钢表中，20 a 号工字钢，有,d = 7mm,以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的。,据此校核梁的切应力强度,例题5 ：对于图中的吊车大梁，现因移动荷载 F 增加为 50kN ，故在 20 a 号工字钢梁的中段用两块横截面为 120mm10mm 而长度 2.2mm 的钢板加强，加强段

12、的横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正应力 =152MPa , 许用切应力 =95MPa 。试校核此梁的强度。,2.2m,解：加强后的梁是阶梯状变截面梁。所以要校核,（3）F 移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,（2）F 靠近支座时 支座截面上的切应力,（1）F 位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力,（1）校核 F位于跨中时截面 时的弯曲正应力,从型钢表中查得 20 a 工字钢,最大弯矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩 。,抗弯截面系数,（2）校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度,该截面上的弯矩为最大,从型钢表中查得 20 a 工字钢,2.2m

13、,F,1.41m,2.5m,5m,A,B,C,D,1.4m,梁不能满足正应力强度条件。,为此应将 加强板适当延长 。,2.2m,F,1.41m,2.5m,5m,A,B,C,D,1.4m,F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置,（3）校核阶梯梁的切应力,请同学们自行完成计算。,例题 ：一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用。钢槽截面简化后的尺寸见图 。,(2) 确定横截面上剪力作用线的位置。,(1) 分析横截面上腹板，翼缘两部分切应力 和 1 的变化规律；,t,y,o,m,m,t,y,z,d,h,b,解：,（1）分析腹板上切应力的变化规律,腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化。,q

14、(x),（2）横截面翼缘上的切应力,n,m,n,m,dx,沿翼缘厚度用纵向截面 AC 截出一体积元素 Cm,m,n,O,z,y,dx,m,n,O,z,y,dx,在 Cm 的两个截面 Dm , Cn 上 分别有由法向内力元素,m,D,C,u,A,在 Cm 的两个截面 Dm , Cn 上 分别有由法向内力元素组成的拉力 F*N1， F*N2 。,m,n,O,z,y,dx,m,D,C,u,A,由于翼缘很薄，故可认为 1 ， 2 ，沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同。,m,n,O,z,y,dx,m,D,C,u,A,m,n,O,z,y,dx,m,D,C,u,A,t 为翼缘厚度,u 为从翼

15、缘外端到所取纵截面 AC 间的长度,由于,所以在 AC 截面上一定存在着切向内力元素,因为翼缘横截面也是狭长矩形，故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设。,根据切应力互等定理，横截面上也应有的切应力 1,平衡方程 Fx = 0,经过整理，即得,由切应力互等定理可知,得横截面上的切应力,式中：,Fs 为横截面上的剪力,Iz 为整个横截面对其中性轴的 惯性矩,m,n,O,z,y,dx,为截面两翼缘中线间的距离,u 为从翼缘外端到要求切应力点 之间的长度,m,n,O,z,y,dx,1 沿翼缘长度按线性规律变化 。,m,m,翼缘上的最大切应力发生在横截面上 翼缘与腹板的中线相接处 。,切

16、应力的指向如图所示,m,m,（3）确定横截面上剪力作用线的位置,t,t,o,m,y,z,d,h,b,m,腹板上切向内力元素 dA 的合力 R,式中：,A* 为横截面腹板部分的面积,R 为腹板上的切向内力元素组成的合力,t,t,o,m,y,z,d,h,b,m,d A = ddy 为 横截面腹板部分的 面积元素,t,t,o,m,y,z,d,h,b,m,上式的 积分运算 结果与式中的 Iz 的算式接近,t,t,o,m,y,z,d,h,b,m,m,m,横截面翼缘部分切向内力元素 1dA 所组成的合力 H,m,m,t,由力系合成原理可知，上述合力的大小和方向均与 R相同 ，但作用线应与 R 相隔一个距离

17、 e 。,m,m,横截面上的剪力为一个 R 和两个 H 。 它们的合力的作用线位置，就是梁横截面上剪力的作用线位置 。,m,m,m,m,y,z,m,m,m,m,y,z,A 点称为剪切中心（弯曲中心）。,槽钢弯曲,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件,1，合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值,（1） 合理地配置梁的荷载,4-6 梁的合理设计,（2）合理地设置支座位置,受均布荷载的简支梁,当两端支座分别向跨中移动 a=0.207l 时,2. 合理选择截面形状,当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。即 Wz/A 较大，则截面的形状就较为经济合理。 一般要

18、使截面面积分布在距中性轴较远的地方。,（1）对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面,圆环形比圆形，工字形比矩形，矩形竖放比平放更合理。,如：工字形 ，矩形 ，圆形 ， 圆环形等截面。,（2）对于脆性材料制成的梁，宜采用 T 字形等对中性轴不对称 的截面，且将翼缘置于受拉一侧。,要使 接近下列关系 ：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,z,3. 合理设计梁的外形,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为 等强度梁 。,例如，宽度 b 保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律 h(x) ，可按正应力强度条件求得。,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,按上 确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁。,作 业:,4-474-484-52,