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1、求曲线的方程,1.坐标法坐标法是指借助于_，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.2.解析几何(1)解析几何是指数学中用_研究几何图形的知识形成的学科. (2)解析几何研究的主要问题是根据已知条件,求出_;通过曲线的方程,研究_.,坐标系,坐标法,表示曲线的方程,曲线的性质,3.求曲线方程的一般步骤,建系、设点,建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；,写点集,写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)；,用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0；,化方程f(x,y)=0为最简形式；,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,列方程,化简,证明,
2、1. 求曲线方程时,建系、设点是第一步，如何判断题中是否已存在坐标系？提示：判定的方法具体如下:是否有点的坐标形式,是否出现了其他的曲线方程,是否有与坐标系有关的词语等.若题设条件中没有坐标系,则应首先建立坐标系,否则曲线不能转化成方程.,2.设A(2，0)，B(0，2)，能否说线段AB的方程是x+y-2=0?为什么？提示：不能说线段AB的方程是x+y-2=0，如点(-3,5)的坐标是方程x+y-2=0的一个解，但点(-3，5)不在线段AB上，所以线段AB的方程不是x+y-2=0,而是x+y-2=0(0 x2).,3. 平面上有三点A(2，y)，B(0， )，C(x，y)，若 ，则动点C的轨迹
3、方程为_【解析】 (2， )， (x， )，由 ,得 0，即2x( ) 0，即y28x.答案：y28x,1.坐标法解决问题的基本思路,几何问题,代数问题,代数结论,几何结论,直角坐标系转化,转化几何意义,代数方程,2.正确认识求曲线方程的一般步骤求曲线方程的五个步骤构成一个有机整体,每一步都有其特点和重要性.在具体实施的过程中可以省略第二步“写点集”和最后一步的证明过程,但要注意化简过程中运算的合理性和准确性,避免出现“失解”和“增解”的情况.求曲线方程的步骤可概括为“建(系)、设(点)、限(注意限制条件)、代(将坐标代入方程)、化(化简方程)”.,3.关于求曲线方程的三点说明(1)求曲线方程
4、时,由于建系的方法不同,求得的方程也不同；(2)一般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不设成(x0,y0)或(x1,y1)；(3)化简方程时,一般将方程f(x,y)=0化成关于x,y的整式形式，并且要保证化简过程的恒等性.,直接法求曲线方程1.直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法,2.建立坐标系的原则和方法建立坐标系要遵循垂直性和对称性的原则,常用以下方法:(1)用已知定点作为原点;(2)用已知定直线作为坐标轴(x轴或y轴)；(3)用已知线段所在直线作为坐标轴(x轴或y轴)，以
5、线段的中点作为坐标原点；(4)用已知的互相垂直的直线作为坐标轴；(5)让尽可能多的点落在坐标轴上.,【典例训练】 1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x1的距离的2倍，则点M的轨迹方程为_.2.(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y= -3上，M点满足 M点的轨迹为曲线C,求C的方程.,【解析】1.设M(x，y).由题意，得 =2|x+1|,化简得 ，即y2=3x2+12x.答案：y2=3x2+12x,2.解题流程:,【思考】(1)直接法求点的轨迹方程的关键是什么？(2)动点的轨迹和轨迹方程一样吗?它们有什么区别？提示：(1)利用直接法求
6、点的轨迹方程的关键是找到所求点满足的关系式.(2)“轨迹”和“轨迹方程”是两个完全不同的概念.“轨迹方程”是坐标等量式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；而“轨迹”是适合某种条件的点的集合，是一条曲线，是一种几何图形.,代入法求曲线方程代入法的定义及解题步骤(1)定义若动点P 依赖于已知曲线上的动点M ,借助于动点M求动点P的轨迹方程的方法通常叫代入法,又叫相关点法(动点M叫相关动点),也叫坐标转移法.,(2)求解步骤设动点P(x,y)，相关动点M(x0,y0)；利用条件求出两动点坐标之间的关系代入相关动点的轨迹方程；化简、整理，得所求轨迹方程.其步骤可总结为“一设二找三代
7、四整理”.,【典例训练】 1.已知点A(0，-1)，当点B在曲线y=2x2+1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是_.2.动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程,【解析】1.设点B(x0,y0),则y0=2 +1.设线段AB的中点为M(x,y),则 .即 ,代入式，得2y+1=2(2x)2+1，即y=4x2为线段AB中点的轨迹方程.答案：y=4x2,2.设P(x，y)，M(x0，y0).P为MB的中点，又M在曲线x2y21上，(2x3)24y21,P点的轨迹方程为(2x3)24y21.,【互动探究】将题2中的条件 “M和定点B(3,0)连线的中
8、点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”.试求动点P的轨迹方程.【解析】设P(x，y)，M(x0，y0).M为PB的中点 ，化简得(x+3)2y24,P点的轨迹方程为(x+3)2y24.,【总结】利用代入法求轨迹方程的关键.提示：利用代入法求轨迹方程的关键在于确定两个动点坐标之间的关系，用未知动点坐标表示已知动点坐标,用已知轨迹方程求未知轨迹方程.,定义法求轨迹方程1.对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的
9、解题方法.,2.定义法求轨迹方程的方法与技巧(1)要熟悉各种常见的曲线的定义.(2)要善于利用数形结合的方法,利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系.(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程.,【典例训练】 1.平面内到点(1，2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是_.2.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB= .求动点P的轨迹方程.【解析】1.根据圆的定义,动点M的轨迹是以点(1，2)为圆心，以3为半径的圆,因此动点M的轨迹方程为(x1)2(y2)29.答案：(x+1)2+(y+2)2=9,2.如图，连接OP,OA,OB,则APO= ，OAPA.又|OA|=1，|OP|=2.由圆的定义知，动点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，故所求轨迹方程为x2+y2=4.,【想一想】解答本类题的关键及题2中能否用代入法求轨迹方程？提示：(1)解答本类题的关键是利用题中的条件确定所求点的轨迹，然后求其方程.(2)题2不能用代入法求，因为所求动点与已知曲线上的两个动点的关系不易用坐标表达.,
