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1、第三章 整数规划,3-1 整数规划问题 整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划，可分成线性和非线性两类。 根据变量的取值性质，又可以分为全整数规划，混合整数规划，0-1整数规划等。,整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。,例3-1：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。,解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表示成0-1规划:Max Z= 20 x1+15
2、x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10 x7s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25xi=1或xi=0 i=1,2,.7,例3-2 背包问题( Knapsack Problem)一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一些最有用的东西,但有个数限制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?,解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=
3、0表示不携带物品j，则问题表示成0-1规划: Max Z = cjxj s.t. ajxj b xj=0 或1,数学模型整数规划(IP)的一般数学模型:Max (min) Z = cjxjs.t. aijxj bi(i=1,2,m) xj 0且部分或全部是整数,解法概述当人们开始接触整数规划问题时，常会有如下两种初始想法：因为可行方案数目有限，因此经过一一比较后，总能求出最好方案，例如，背包问题充其量有2n-1种方式；连线问题充其量有n!种方式；实际上这种方法是不可行。,设想计算机每秒能比较1000000个方式，那么要比较完20!（大于2*1018）种方式，大约需要800年。比较完260种方式
4、，大约需要360世纪。,先放弃变量的整数性要求，解一个线性规划问题，然后用“四舍五入”法取整数解，这种方法，只有在变量的取值很大时，才有成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1规划时，往往不能成功。,例3-3 求下列问题：Max Z=3x1+13x2s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值,O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,5 4 3 2 1,x1,x2,I(2,4),B(9.2,2.4),A,D,可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最优解I(2,4) Z0=58，实际上B附
5、近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。,O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,5 4 3 2 1,x1,x2,I(2,4),B(9.2,2.4),A,D,假如能求出可行域的“整点凸包”（包含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则可在此凸包上求线性规划的解，即为原问题的解。但求“整点凸包”十分困难。,E,F,G,H,I,J,O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,5 4 3 2 1,x1,x2,I(2,4),B(9.2,2.4),A,D,假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃
6、整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解(6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11),P1,P2,P4,X1 2,X1 6,X2 3,X2 2,X1 3,X1 7,X2 4,X2 3,P1,P5,P4,P2,P3,P,假如放弃整数要求后，用单纯形法求得最优解，恰好满足整数性要求，则此解也是原整数规划的最优解。 以上描述了目前解整数规划问题的两种基本途径。,分枝定界解法（Branch and Bound Method)原问题的松驰问题：任何整数规划（IP），凡放弃某些约束条件（如整数要求）后，所得到的问题（P） 都称为（IP）的松驰问题。,最通常的
7、松驰问题是放弃变量的整数性要求后，（P）为线性规划问题。,分枝定界法步骤一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束。,若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl进行分枝，它必须满足xl xl 或xl xl +1中的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（两分法）。,定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（max）（下(min)）界，用它来判断分枝
8、是保留还是剪枝。剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。,例5-6 用分枝定界法求解： Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 且为整数用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（6/5，21/10），Z=111/10为各分枝的上界。,0 1 2 3 4,4 3 2 1,x1,x2,分枝：X1 1,x1 2,P1,P2,两个子问题：（P1）Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x1 1 ，整数用单纯形法可解得相应的（P1）的最优解
9、（1，9/4） Z=10(3/4),（P2）Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x1 2 ，整数用单纯形法可解得相应的（P2）的最优解（2，1/2） Z=9(1/2),0 1 2 3 4,4 3 2 1,x1,x2,再对（P1）分枝：X1 1（P3） x2 2 （P4） x2 3,P1,P2,P3,P4,（P1）两个子问题：（P3）Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 2整数用单纯形法可解得相应的（P3）的最优解（1，2） Z=10,（P1）两个子问题：
10、（P4）Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 3整数用单纯形法可解得相应的（P4）的最优解（0，3） Z=9,X1 2,X2 2,X1 1,X2 3,P1:(1,9/4)Z=10(3/4),P4: (0,3) Z=9,P2:(2,1/2) Z=9(1/2),P3: (1,2) Z=10,P:(6/5,21/10) Z=111/10,原问题的最优解（1，2） Z=10,例5-7 用分枝定界法求解： Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8 x1+2x2 6 x1,x2 0 且取整数用单纯形法可解得相应的
11、松驰问题的最优解（10/3，4/3），Z=26/3为各分枝的下界。,0 1 2 3 4 5 6,8 7 6 5 4 3 2 1,x1,x2,p,0 1 2 3 4 5 6,8 7 6 5 4 3 2 1,x1,x2,p,选 x1进行分枝： (P1) x1 3(P2) x1 4 为空集,P1,（P1） Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8 x1+2x2 6 x1,x2 0 ，x1 3 整数用单纯形法可解得（P1）的最优解（3，3/2）Z=9,（P2） Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8 x1+2x2 6 x1,x2 0 x1 4 整数无可行解。,0 1
12、2 3 4 5 6,8 7 6 5 4 3 2 1,x1,x2,p,对(P1) x1 3 选 x2进行分枝： (P3) x2 1无可行解 (P4) x2 2,P4,（P3）Min Z= x1+4x2s.t. 2x1+ x2 8 x1+2x2 6 x1,x2 0， x1 3 ，x2 1整数无可行解。,（P4）Min Z= x1+4x2s.t. 2x1+ x2 8 x1+2x2 6x1,x2 0， x1 3 ，x2 2整数用单纯形法可解得（P4）的最优解（2，2）Z=10,X1 4,X2 1,X1 3,X2 2,P1:(3,3/2)Z=9,P4:(2,2) Z=10,P2:无可行解,P3:无可行解,P:(10/3,4/3) Z=26/3,原问题的最优解（2，2） Z=10,
