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1、,27.2.1相似三角形的判定(1),27.2.1相似三角形的判定(1),1. 对应角_, 对应边的两个 三角形, 叫做相似三角形,相等,成比例,2. 相似三角形的, 各对应边。,对应角相等,成比例,如果 ABC DEF, 那么,A=D, B=E, C=F,回顾,、两个全等三角形一定相似吗？为什么？,、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？,、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？,相似比是多少？,回顾,它们是相似三角形吗？为什么？,回顾,如果 ABC ADE,那么你能找出哪些角的关系？,A = A,B = ADE,C = AED.,边呢？,DE BC,理解
2、,如图,DE/BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, ADE与ABC有什么关系?说明理由.,相似,证明:在ADE与ABC中,A= A, DE/BC,ADE=B, AED=C,过E作EF/AB交BC于F,可证DBFE是平行四边形,F,ADEEFC,DE=BF,DE=FC,ADEABC,结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似,探索1,2. 如图,DE/BC, ADE与ABC有什么关系?说明理由.,相似,A,B,C,D,E,证明:在ADE与ABC中,A= A, DE/BC,ADE=B, AED=C,过E作EF/AB交BC于F,DBFE是平行四边形,F,DE=BF,定理：平行于三角形一边的
3、直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似,ADEABC,探索2,平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所得的三角形与原三角形_.,相似,“A”型,“X”型,理解,请写出它们的对应边的比例式,理解,已知：如图，ABEF CD，,3,图中共有_对相似三角形。,EOFCOD,ABEF,AOB FOE,ABCD,EFCD,AOB DOC,理解,如图，ABC 中，DEBC，GFAB，DE、交于点，则图中与ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.,解： 与ABC相似的三角形有3个:,A ,运用4,如图,已知DE BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, BAC=450,
4、ACB=400. (1)求AED和ADE的大小;(2)求DE的长.,（2）,解: (1),DE BC,ADEABC,AED=C=400.,ADEABC,运用,在ADE中, ADE=1800-400-450=950.,如图，在ABC中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_。,ADGAEHAFIABC,1：4,运用, 相似三角形的定义, 相似比的性质, 相似三角形判定的预备定理,小结,27.2.1相似三角形(2),1. 对应角_, 对应边的两个三角形,叫做相似三角形 .,相等,成比例,2. 相似三角形的, 各对应边。,对应角相等,成比
5、例,回顾,3.如何识别两三角形是否相似?, DEBC ADE ABC,平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。,思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?,思考,是否有ABCABC？,A,B,C,三边对应成 比例,已知:如图ABC和ABC中AB:AB=AC:AC=BC:BC.求证:ABCABC,证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,D,E,过点D作DEBC交AC于点E.,又AB:AB=BC:BC=CA:CA,AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEABC,AD=ABAD:AB=AB:AB,DE:BC=BC:BC,EA:CA=CA
6、:CA.,因此DE=BC,EA=CA.,ABCABC,ADEABC,理解,例1：在ABC和ABC中，已知：(1)AB6 cm， BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm试判定ABC与ABC是否相似，并说明理由,(2) AB=12cm， BC=15cm， AC24cm AB16cm，BC20cm，AC30cm,运用2,试说明BAD=CAE.,ABCADEBAC=DAEBACDAC=DAEDAC即BAD=CAE,运用3,答案是2:1,理解,4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2,要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分
7、别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?,4,5,6,2, 平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;, 三边对应成比例的,两三角形相似.,相似三角形的判定方法,小结,27.2.1相似三角形(3),判断两个三角形相似,你有哪些方法,方法1：通过定义（不常用）,方法2：通过平行线。,方法3：三边对应成比例。,如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使ADEABC相似呢？,此时，,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？,=？,已知:如
8、图ABC和ABC中,AA , A ,AB:AB=AC:AC.求证:ABCABC,A,B,C,E,D,证明:在ABC的边AB、AC(或它们的延长线)上分别截取AD=AB,AE=AC,连结DE.A=A, 这样,ADEABC.,AB:AB=AC:AC AD:AB=AE:ACDEBCADEABCABCABC,相似三角形的识别,ABC,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 。,(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似),A,想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？,1、已知ABC和 ABC,根据下列条件 判断它们是否相
9、似.,(2) A45，AB=12cm， AC=15cm A45，AB16cm，AC20cm,（1）A=120,AB=7cm,AC=14cm, A=120,AB=3cm,AC=6cm;, = =1.5,2、判断图中AEB和FEC是否相似？,解：,AEBFEC,12, 1.5, ,1,2,3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是AB的四分一等分点，连结EF、EC；AEF与DCE是否相似?说明理由.,4、已知：如图，BD、CE是ABC的高， 试说明 ADEABC。, 平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;, 三边对应成比例,两三角形相似.,相似三角形
10、的判定方法, 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.,27.2.1相似三角形的判定(4),这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？,三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？,三个内角对应相等。,思考,相似,画 ，使三个角分别为60，45, 75 。,同桌分别量出两个三角形三边的长度；同桌这两个三角形相似吗?,即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_,相似,一定需三个角吗？,如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似,相似三角形的识别方法：,思 考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？,观察,C,
11、C, A=A， B=B, ABC ABC,用数学符号表示：,相似三角形的识别,(两个角分别对应相等的两个三角形相似),例1如图所示，在两个直角三角形ABC和ABC中，BB90，AA，判断这两个三角形是否相似,解： BB90（已知），,AA（已知），,ABCABC（两个角分别对应相等的两个三角形相似）,例2. 如图，ABC中， DEBC，EFAB， 试说明ADEEFC.,解: DEBC，EFAB（已知），, ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）,AEDC. （两直线平行，同位角相等）, ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似）,例3.弦AB和CD相交于o内一点P,求证:PAP
12、B=PCPD,A,B,C,D,P,O,证明:连接AC、BD,A、D都是CB所对的圆周角, A=D,同理: C=B,PACPDB,即PAPB=PCPD,例4.已知D、E分别是ABC的边AB,AC上的点，若A=35, C=85,AED=60 则ADAB= AEAC,找一找,（1）图1中DEFGBC，找出图中所有的相似三角形。,（2）图2中ABCDEF，找出图中所有的相似三角形。,答：相似三角形有 ADEAFGABC。,答：相似三角形有 AOBFOEDOC。,（3）在ABC和ABC中，如果A80，C60，A80，B40，那么这两个三角形是否相似？为什么？,B=180 （A+C)=180 （80 +6
13、0 )=40 ,C,A,D,B,3.找出图中所有的相似三角形,ACD CBD ABC,你能写出对应边的比例式吗?,填一填（1）如图3，点D在AB上，当 时， ACDABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 ，就可以使ADE与原ABC相似。, ACD, B,(或者 ACB ADB),DE/BC,D,(或者 C ADE),(或者 B ADE),D,如图，在RtABC的一边AB上有一点P(点P与点A，B不重合），过点P作直线截得的三角形与ABC相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由.,思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的
14、直线有几条？,我们来试一试,E,A,B,D,C,解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =4,3.已知如图， ABD=C AD=2 AC=8，求AB,D,B,C,A,18,5、如图：在Rt ABC中， ABC=900，BDAC于D,A,B,D,C,E,F,问：若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB : AC=DF : BF,泰勒斯测量金字塔高度的示意图:,如果人体高度AC1.7米，人影长BC2.2米，而BC176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？,可证ABCABC即所以A C=1
15、.7x1762.2=136m,相似三角形的识别方法有那些？,方法1：通过定义,方法5：通过两角对应相等。,课 堂 小 结,（这可是今天新学的，要牢记噢！),方法2：平行于三角形一边的直线。,方法3：三边对应成比例。,方法4：两边对应成比例且夹角。,常见图形,能力与提高,如图所示：已知RtABC和RtDEF不相似其中C、F为直角.能否将两个三角形分别分成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与DEF所分成的两个三角形分别对应相似？请设计出一种分割方案,提示1：将一个三角形分割成两部分，有几种可能形式？,一种不经过三角形顶点的直线分割一种经过其中一个顶点的直线分割,提示2：经过一个内角的顶点的直线分割时，其他两个角有无变化？,其他内角不变，因此这两个三角形都进行直线分割时，就余下四个内角,1,2,N,M,方法：,在ABC中，作1=E，交AB于点N，在DEF中，作2=BFM交DE于点M则ANCFME、BCNFDM,在ACN和FME中，1=E B=2CANEFM,ACB=DFE=90 A+B=90 D+E=90,又1+NCB=90 2+EFM=90,D=NCB B=2,BCNFDM,直线CN、FM就是所求的分割线,证明：,不经历风雨，怎么见彩虹,没有人能随随便便成功!,再见,
