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1、第10章 结构的动力计算,10-2 单自由度体系的自由振动,10-3 单自由度体系的强迫振动,10-4 阻尼对振动的影响,10-5 两个自由度体系的自由振动,10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,10-7 小结,10-1 动力计算的特点和动力自由度,10-1 动力计算的特点和动力自由度,1 结构动力计算的特点,若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微 按静荷载考虑；若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大 按动荷载考虑.,动荷载与静荷载的区别,动荷载(大小、方向、作用位置）随时间变化。,动力计算与静力计算的区别,(1)平衡方程中包括惯性力。,(2)平衡方程是瞬间平衡,荷载和内
2、力都是时间的函数,2 动荷载的分类,典型的周期荷载是简谐荷载。机器转动部分引起的荷载属于简谐荷载,第一类周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。,简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示,非简谐性的周期荷载,各种爆炸荷载属于这一类,第二类冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。,地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子,第三类随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定。,某次地震波时程,3 动力计算中体系的自由度,自由度:为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位 置所需确定的独立几何参数的数目.,动力体系的简化方法,第一、集中质量法,自由度的个数与集中质量的个数不一定相等,一个集中质量，两个自由度,第
3、二、广义质量法,具有分布质量的简支梁的挠度曲线。,通常只取级数的前n项。,第三、有限元法,1 振动方程的建立,刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。,柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。,10-2单自由度体系的自由振动,2 振动方程的解,将振动微分方程改写为,代入初始条件,通解,得动位移为,由y0引起的,由v0 引起的,总位移,将动位移表达式改写成单项式,初始相位角,振幅（amplitude of vibration）,3 结构的自振周期和圆频率 （natural period and natural circular frequency ）,周期,频率,圆频率,完成一次振动
4、需要的时间,单位时间内完成振动的次数,2个单位时间内完成振动的次数,几个定义,计算公式的几种形式,自振周期的特性,（1）自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界因素无关。,（2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。,（3）自振周期相近的体系，动力性能基本一致。,例题1 求图示 简支梁的自振周期和圆频率,解,对于竖向振动，柔度系数为,例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期,解,（1）水平振动,当杆顶作用水平力W时，杆顶的水平位移为,（2）竖向振动,当杆顶作用竖向力W时，杆顶的竖向位移为,10-3 单自由度体系的强迫振动,1 简谐荷载,刚度法 体系在惯性力和动荷载的
5、 共同作用下处于动态平衡。,将振动微分方程写成,二阶常系数非齐次方程,齐次通解,将特解代入方程,得,非齐次特解,全解为,代入初始条件,瞬态振动由于阻尼的存在很快消失,稳态振动特解,考虑稳态振动,动荷载幅值当作静载作用时质体的位移,动力系数,动力系数的讨论,荷载变化比较慢，可按静载处理。,动力系数随频率比增加而增加。,产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。,动力系数的绝对值随频率比增大而减小。,例10-3 已知：跨度l=4m，惯性矩 I=7480cm4，截面系数W=534cm3 ，弹性模量E=2.1105MPa。电动机重量G=35kN，转速n=500r/min，离心力FP=10kN，竖向分力FP
6、sint。试求梁动力系数和最大正应力。,解,（1）自振圆频率,（2）荷载频率,（3）求动力系数,（4）求跨中最大正应力,2 一般动荷载：将动荷载分成一系列瞬时冲量,（2）质体以这个速度作为初速度,开始 作自由振动t时刻的动位移为,（3）将时刻t之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加,（1）突加荷载,质点围绕静力平衡位置作简谐振动，动力系数为,突加荷载引起的最大位移是静位移的2倍。,（2）短时荷载,（3）线性渐增荷载, 1 2；,如果升载时间很短( tr T/4)， 接近2，相当于突加荷载；,如果升载时间很长( tr 4T)， 接近1，相当于静荷载。,10-4 阻尼对振动的影响,阻尼的几种情况,阻尼
7、力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼力；,阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中 运动受到的阻力属于这一类；,阻尼力与质点速度无关，摩擦力属于这一类；,1 有阻尼的自由振动,其解为,这两种情况下的动位移具有衰减的性质,不具有波动的性质.,阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量均用于消耗阻尼，没有多余的能量再引起的振动,阻尼越大,衰减速度越快,或,通过实测振幅,可以测定阻尼比,影响小,可以忽略,阻尼对自振特性的影响,阻尼对振幅的影响,2 有阻尼的强迫振动,（2）质体以这个速度作为初速度，开始 作自由振动t时刻的动位移为,（3）将时刻t之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加,（1）突加荷载,(2)简谐荷载,只
8、考虑稳态振动,写成单项式,振幅,相位差,（1） / 对的影响,/ 1时，1 。F(t) 可作为静力荷载F处理。,/ 1时， 0， 做极微小的振动，动位移 0 。,/ =1的附近，阻尼对 影响明显。 大、小。,0.75 / 1.3共振区共振区以外不考虑阻尼的影响，按无阻尼计算。, 的最大值并不发生在/ =1处。,实际中,（2） / 对的影响, 位移与动荷载同步。, 最大位移处，动荷载与弹性 力平衡。,讨论三个典型情况, 与弹性力相比,阻尼力和惯性 力都很小。,动荷载的作用相当于静载, 动荷载振动很慢。, 位移滞后动荷载900。, 动荷载与阻尼力平衡。,共振时，增大阻尼，可以降低位移, 位移与动荷
9、载反向,滞后1800。, 与惯性力相比,弹性力与阻尼 力很小。, 动荷载振动很快。, 动荷载与惯性力平衡。,10-5 两个自由度体系的自由振动,1刚度法,在惯性力和质点位移的作用下，附加约束上的反力为零。,a 振动方程,令,两个质体的运动具有以下特点:,两个质体具有相同的圆频率和相位角.,两个质体的位移比值不变.,b 振型方程和频率方程,将位移表达式代入振动方程,振型方程,振型,取非零振型解,则,展开,得,从小到达排列:1:第一频率或基本频率; 2:第二频率;,频率方程或特征方程,将=1代入振型方程,第一振型,此时，位移为,一般情况下,振动是两种振型的组合,例题 试求图示体系的频率和振型,解,
10、(1)求刚度系数,(2)求频率,若,则,讨论,(3)求振型,第一振型的初始条件容易满足, 所以位移中第一振型的比例较大,2柔度法,a 振动方程,在惯性力的作用下，质体的位移等于实际动位移。,振动方程,令,b 振型方程和频率方程,展开频率方程，得,频率为,将=1, =2 分别代入振型方程,得,例题 试求结构的自振频率和振型.EI=常数,m1=m2=m,m1,m2,l/3,l/3,l/3,解,(1)求柔度系数,(2)求频率,(3)求振型,3主振型的正交性,若体系按第一振型振动,若体系按第二振型振动,功的互等定理,因为,故,主振型的第一个正交关系,10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,1刚
11、度法,y1,y2,在荷载、惯性力和质点位移的作用下，附加约束上的反力为零。,a 振动方程,位移幅值为,位移幅值为,若,则,n个自由度体系有n个共振区,（1）共振问题,荷载,位移,惯性力,荷载、位移、惯性力同时达到幅值。可以直接列幅值方程，求动位移和动内力幅值。,（2）荷载、位移、惯性力同步,例题,解,刚度系数为,荷载幅值为,试求横梁振幅Y1、Y2与荷载频率 之间的关系曲线。设m1=m2=m；k1=k2=k。,因 m1=m2=m，k1=k2=k，得,频率已由例10-4求出,从曲线可以看出：,有两个共振区,在结构上附加子系统，可以消除主结构的振动,吸振器设计步骤,（1）根据m2的许可振幅，选定k2
12、。,（2）根据m2= k2/ 2,确定m2的值。,2柔度法,a 振动方程,质体在惯性力和荷载的作用的静位移等于动位移。,已知：EI=常数，,解,(1)求柔度系数和自由项,求振幅和动弯矩图及动剪力图.,(2)振幅,（3）惯性力幅值,多自由度体系没有统一的动力系数,位移动力系数,弯矩动力系数,剪力动力系数,10-7 小结,1 单自由度体系的振动,1.1自由振动中,强调自振周期的不同表现形式和重要性质;,1.2强迫振动,1.2.1简谐荷载,1.2.2一般荷载,(1)按照自由振动、冲量的影响、强迫振动的顺序，利 用力学概念进行推导。,(2)结合几种重要的荷载，讨论了结构动力反应的特点， 并与静载进行了比较。,(1)许多实际动力问题可以简化为单自由度体系进行计算。(2)多自由度体系的问题可归结为单自由度体系的计算。,2 两个自由度体系振动,只讨论了简谐荷载作用的情况。同时介绍了刚度法和柔度法。,说明了两个自由度体系按单自由度振动的可能性，引出主振型的概念。,2.1自由振动,2.2强迫振动,3通过对比加深了解,动力计算与静力计算的比较；动力特性与静力特性的比较；单自由度与多自由度的比较；动力计算与稳定计算的比较。,
