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1、基本要求：熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自由振动和简谐荷载作用下的受迫振动、两个自由度体系的自由振动及主振型的正交性。掌握计算频率的近似法、阻尼对振动的影响。了解一般荷载作用下结构的动力反映（杜哈梅积分）、无限自由度体系的自由振动。,结构动力计算特点和内容单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动,第10章 结构动力计算,1、结构动力计算的特点和内容动荷载(dynamic load)与静荷载(static load)的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，,而且变得很快,由此而产生的惯性力不能忽略。,或变得
2、很慢，由此而产生的惯性力可以忽略。,结构动力学与静力学的根本区别：是否考虑惯性力和阻尼的影响。结构动力计算内容：研究结构在动荷载作用下内力与位移的分析原理和计算方法。,10-1 动力计算概述,1.两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。,动力计算与静力计算的区别,3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。,2.动力内力与位移不仅是位置的函数，而且是时间的函数。（结构围绕平衡位置发生振动，结构同一位置的内力、位移在不同时刻是不同
3、的。）,4.动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构的动力特性有关。结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要通过结构的自由振动来确定。,动力计算与静力计算的区别,5.结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下的结构内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计或验算的依据。,达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可将质点系动力学问题化为静力学问题来解决，这种动静法的观点对力学的发展产生了积极的影响。此原理的表达式为：FNma0 式中F为作用于质量为m的某一质点上的主动力，
4、N为质点系作用于质点的约束力，a为该质点的加速度。,本章计算原理：达朗贝尔原理,本章计算原理：达朗贝尔原理,根据达朗贝尔原理，可将动力计算问题化为静力平衡问题来处理，但是，这是一种形式上的平衡，是一种动平衡。换句话说，在动力计算中，虽然形式上仍然是在列平衡方程，但需注意两个特点：第一：在所考虑的力系中要包括惯性力这个新的力；第二：这里考虑的是瞬时的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。,研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动）荷载的变化规律及其动力反应。（强迫振动）,动力计算的内容,2、动力荷载及其分类,动荷载
5、的定义,结构在大小、方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力(innertia force)和荷载相比达到不可忽视的程度时的荷载称为动荷载（dynamic load）,动是绝对的；静是相对的。把荷载看成是静荷载还是动荷载应结合结构本身的动特性加以判决。,动荷载的分类,动荷载,结构振动分析,随机振动分析,偏心质量m,偏心距e,匀角速度惯性力:P=m 2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.,简谐荷载（harmonic load）,一般周期荷载(periodic load),1）周期荷载：荷载随时间作周期性变化。（例如：船舶中螺旋桨产生的作用于船体的推力就是周期荷载、转动电
6、机的偏心力）,2）冲击荷载：荷载值在短时间内剧增或剧减。例如：各种爆炸荷载；起吊机起吊重物时产生的荷载、列车制动动力等。,3）随机荷载：如果荷载的时间历程并不十分清楚，只知道经统计取得的数值，荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定(非确定性荷载)。（如地震荷载、风荷载）,3）随机荷载,地震作用：地震时，由于地面剧烈运动对结构产生的干扰力即为地震作用，荷载随时间变化规律复杂。图中横坐标为时间，纵坐标表示地面运动加速度。,3）随机荷载,脉动风压：结构某处的风压可分解为稳定风压和脉动风压。稳定风压对一般结构的作用可视为静荷载，而脉动风压对高耸柔性结构（例如烟囱、水塔、电视塔等）产生相当大的振动，应视为
7、动力荷载。脉动风压随时间变化的规律复杂，也是一种随机荷载。,3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振动时的计算简图,单自由度体系(single degree-of-freedom system),三个自由度体
8、系,将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，从而将无限自由度体系简化为有限自由度体系。,例题1,例题2,只有一个振动自由度,有三个振动自由度,例题3,有两个振动自由度,例题4,两个质点，只有一个振动自由度,例题5,有三个振动自由度,自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。,例题6,铰化结点质点法：把所有质点与结点包括支座都变为铰，限制质点运动所需添加的链杆个数（把铰接体系变为几何不变所需添加的链杆根数）即为振动自由度个数。,例题7,铰化结点质点法：把所有质点与结点包括支座都变为铰，限制质点运动所需添加的链杆个数（把铰接体系变为几何不变所需添加的链杆根数
9、）即为振动自由度个数。,例题8,铰化结点质点法：把所有质点与结点包括支座都变为铰，限制质点运动所需添加的链杆个数（把铰接体系变为几何不变所需添加的链杆根数）即为振动自由度个数。,例题9,铰化结点质点法：把所有质点与结点包括支座都变为铰，限制质点运动所需添加的链杆个数（把铰接体系变为几何不变所需添加的链杆根数）即为振动自由度个数。,例题10,铰化结点质点法：把所有质点与结点包括支座都变为铰，限制质点运动所需添加的链杆个数（把铰接体系变为几何不变所需添加的链杆根数）即为振动自由度个数。,例题11,铰化结点质点法：把所有质点与结点包括支座都变为铰，限制质点运动所需添加的链杆个数（把铰接体系变为几何不
10、变所需添加的链杆根数）即为振动自由度个数。,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),三个自由度,三个自由度,复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度,注意：,结构体系组成分析中的自由度和动力分析中的自由度，二者既有相同之处又有不同之处：,相同之处：二者都是确定体系运动位置所需的独立坐标参数；,不相同之处：在结构几何组成分析中讨论的对象是不考虑质量的刚体，而在动力分析中讨论的一般是变形体，考虑的是体系中质量的自由度。,注意：,集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构
11、杆件仍具有可变性性质，称为“无重杆”。,集中质量法优点：可使无限自由度体系简化为有限自由度体系。,2）广义坐标法(generalized coordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线,为满足位移边界条件已知函数,称为形状函数,a1,a2,an为待定的参数（广义坐标）。,烟囱底部的位移条件:,于是近似设变形曲线为:,n个自由度体系,简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0,于是近似设变形曲线为:,n个自由度体系,3)有限元法（finite element）将结构划分为有限个单元，通过单元分析得到单元刚度方程，组装成整体刚度矩阵，适当将质量分布于单元结点上，除
12、这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。,1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。,2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。,一个质点两个自由度,两个质点一个自由度,几点注意,自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系,单自由度体系动力分析的重要性,具有实际应用价值，很多实际的动力问题常可按单自由度体系进行计算或进行初步的估算。多自由度体系动力分析的基础。,自由振动(free
13、vibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。,m,k,10-2 单自由度体系的自由振动,在结构的动力计算中，结构上各个质点的位移是基本未知量，为求解它们，应建立质点运动方程，即体系上所有质点的位移在运动的每一瞬间必须满足的运动条件。,单自由度的体系为一个常微分方程；而多自由度体系，一般为一组常微分方程组。,下面以单自由度体系为例，来讨论运动方程的建立。,单自由度结构体系运动方程的一般形式：,水平运动模型,竖向运动模型,一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）,m,k,1、刚度法(stiffness method),m,根据达朗伯
14、原理（动静法、惯性力法）从力系平衡建立的瞬时动力平衡的自由振动微分方程,2、柔度法(flexibility method),从位移协调角度建立位移的自由振动微分方程,取振动体系为研究对象，惯性力：,=1/k,(DAlembers principle),刚度法,承受动荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹性特性（柔度或刚度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部干扰或荷载。因此，对于各种单自由度体系的振动状态，都可以用一质量、弹簧、阻尼器及动荷载来描述，如图所示。,刚度法,（1）确定位移参数。设质量在任一时刻的位移为y，（向右为正）,（2）取质点为研究对象，隔离体如图所示。,（图中，惯性力
15、、阻尼力和弹性力，各力均设沿坐标轴正向为正。,刚度法,（1）弹性力S：它总是指向平衡位置，与位移成正比，但方向相反，即：,（2）阻尼力R:根据等效粘滞阻尼理论，阻尼力与质量的运动速度成正比，但方向相反，即：,式中，c为体系的粘滞阻尼系数。,式中，k为刚度系数（发生单位位移时所需施加的力）,隔离体受力情况,（3）惯性力I：根据达朗伯原理，惯性力是质量与加速度的乘积，但与加速度方向相反，即：,（4）外荷载P（t）,加速度的方向永远指向静力平衡位置。,列瞬时动力平衡方程,列瞬时动力平衡方程,柔度法建立位移方程,柔度法的要点是：以结构整体为研究对象，列位移方程。当质量m振动时，把惯性力、阻尼力及动荷载
16、，均看作是一个静荷载（弹性恢复力是内力，考虑整体为研究对象时，不考虑）。,体系在质量处的位移y等于：,柔度法与刚度法比较,柔度系数与刚度系数的关系为：,例题1,在图示刚架中，水平横梁假定是刚性的，而且它包含了结构所有的运动质量。立柱假定为无重且在竖直方向（轴向）不能伸长。试用刚度法建立其运动方程。,用刚度法列瞬时动力平衡方程,例题2,试用柔度法建立图示单自由度体系受均布动荷载作用的运动方程。,解：本题的特点是，动荷载不是作用在质量上，对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。,用柔度法列位移方程,解：设质量任一时刻沿自由度方向的位移为y（向下为正）。把惯性力、阻
17、尼力及动荷载，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y，由叠加原理，则：,例题3,试用柔度法建立图示单自由度体系受均布动荷载作用的运动方程。,解：本题的特点是，动荷载不是作用在质量上，对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。,用柔度法列位移方程,解：设质点位移向右为正，并认为该位移是由惯性力和动荷载共同产生的，有叠加法，则：,自由振动(free vibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。,m,k,10-2 单自由度体系的自由振动,单自由度体系的自由振动的一般运动方程为：,单自由度体系无阻尼的
18、自由振动的一般运动方程为：,改写为：,无阻尼的自由振动(0),可以与考虑阻尼的情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。,这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；,令,自由振动微分方程的解,由运动方程的解可见：体系的自由振动是简谐运动。第一部分是初位移引起的，表现为余弦规律，第二部分是初速度引起的，表现为正弦规律，二者之间相位差为一直角，后者落后于前者90,这是一个周期函数,位移、速度的单项表达式,令,振幅:振动位移的最大值,初始相位角:initial phase angle,无阻尼自由振动是简谐振动,结构的自振周期(natural period),周期函数的条件
19、:y(t+T)=y(t),是周期函数,且周期是:,频率:(frequency),每秒钟内的振动次数.,圆频率:(circular frequency),2秒内的振动次数.,由此看到频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率（natural frenquency）。,自振周期计算公式的几种形式,圆频率计算公式的几种形式：,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的
20、位移。计算时可根据体系的具体情况，视、k、st 三则中哪一个最便于计算来选用。,一些重要性质：（1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,W是质点的重力,自振频率的计算方法及示例,例题1：计算图示体系自振频率
21、,自振频率的计算方法及示例,例题2：计算图示体系自振频率,自振频率的计算方法及示例,例题3：计算图示体系自振频率,三种梁自振频率比较,结构体系刚度越大则振动频率也越大,自振频率的计算方法及示例,例题4：计算图示体系自振频率,自振频率的计算方法及示例,例题5：计算图示体系自振频率,自振频率的计算方法及示例,例题5：计算图示体系自振频率,自振频率的计算方法及示例,例题6：计算图示体系自振频率,求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。,3EI/h2,6EI/h2,6EI/h2,k,例7,例,例,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh=MBC,解法2：求,例,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。
22、如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,例,强迫振动(forced vibration):结构在动荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,1、简谐荷载(harmonic load)：,单自由度体系强迫振动的微分方程,特解：,.,.,.,10-3 单自由度体系的强迫振动,1、简谐荷载(harmonic load)：,特解：,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初
23、始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数(magnification factor),重要的特性：当/0时,1，荷载变 化得很慢，可当作静荷载处理。当01，并且随/的增大而增大。当/1时,。即当荷 载频率接近于自振频率时，振幅 会无限增大。称为“共振”。通常 把0.75/1.25称为共振区。,当/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,当动荷载与惯性力共线时,还有,当动荷载与惯性力作用位置，作用线
24、相同时：,各截面的内力与位移都与质量处位移y成正比，所以质量处位移和动力系数也就是各截面位移和内力的动力系数。,有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量G=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率,52.3/57.4=0.91,例,2）求动力系数,175.6MPa,必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单自由度体系当动荷载作用在质点且
25、与质点运动方向一致时的情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。,已知：，求横梁水平位移振幅和动弯矩幅值图。,例,P0 引起的质点处的静力位移为：,动力系数为：,位移幅值为：,已知m=300kg，EI=90105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ydmax Mdmax,例,2、一般荷载,一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导,动荷载P（t）为时间t的任意函数,在任意动荷载P（t）作用下，一般单自由度体系的运动方程为：,将随时间任意变化的动荷载视为一系列
26、独立冲量的总和，设法求出每一独立冲量作用下的响应，由叠加原理，可得任意荷载作用下的解答y（t）。,解决问题的思路：,1）瞬时冲量的动力反应,设体系在t=0时静止，然后 有瞬时冲量S作用。,瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。,设体系在t=0时处于静止状态，然后有一个瞬时冲量 作用于体系，冲量作用结束后，体系无其他荷载的作用，体系作自由振动。,假设加载时间 和体系是自振周期T相比非常短促（T），可认为在该冲量作用过程中，体系位移没有显著变化，仅有速度的变化，按动量定理，冲量等于动量的增量，即：,1）瞬时冲量的动力反应,冲量结束后，体系所发生的自由振动初始条件为：,2、任意荷载P(
27、t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时(t)引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分)（15-29）,初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0/m2,质点围绕静力平衡位置作简谐振动,可见，突加荷载所引起的最大位移比相应的静力位移增大一倍。,2）短时荷载,阶段(0tu)：与突加荷载相同：,阶段(tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0 u,当 u,最大
28、动反应,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,2）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,=2,动力系数反应谱(与T 和之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大的关系。其动力系数的反应谱（表示动力系数随升载时间比值而变化的情形）如下：,动力系数反应谱(spectrum of magnification factor),动力系数介乎1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。,钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线,因为在振幅位置结构的变形速度为
29、零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。,10-4 阻尼(damping)对振动的影响,忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。,大体上,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大
30、小与质点速度有如下关系：与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为 R(t)=Cy).,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,考虑阻尼的振动模型,k,m,动平衡方程：,1、有阻尼的自由振动,(阻尼比damping ratio）,设解为：,特征方程为：(characteristicequation),1)1（低阻尼）情况,为有阻尼的自振频率,ae-t,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2,则0.96r/1在工程结构问题中0.010.1可近似取.,
31、阻尼对振幅的影响.振幅ae-t 随时间衰减.相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,称为振幅的对数递减率.(logarithmic decrement),设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。,工程中常用此方法测定阻尼,图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。
32、,解：,返回,例,临界阻尼常数cr是=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）(critical damping coefficient),阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。,2、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,（低阻尼体系，1）,瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量,总反应,（1）突加荷载P0,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍
33、，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asint+Bcost 代入上式得：,+Asint+Bcost,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asint+Bcost=yPsin(t),振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/m2,与频率比/和阻尼比有关,几点讨论：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。当接近时，增加的,很快，对的数值影响 也
34、很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsint一个 相位角，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡，FI 与y同向，y与P反向；,位移y、弹性力S，惯性力FI
35、，阻尼力R分别为：,k,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,=P(t),强迫振动时的能量转换,振动荷载Fsint在振动一个周期所输入的能量,.,在时间段dt内,在一个周期内,.,在时间段dt内,在一个周期内,.,当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时,UR=UP,弹性动内力幅值的计算,一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达
36、到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。,无阻尼时同时达到幅值。,有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角。,比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:,这意味着，在位移达到幅值时，可用F 代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。F产生的动内力和动位移是F产生的静内力和静位移倍。,注意：位移达幅值时，速度为 零，故阻尼力为零，计算 时不必考虑阻尼力。,例：图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6103kN/m3
37、，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时(1)自振频率；(2)机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。(3)如考虑阻尼，阻尼比=0.5，求振幅及地基最大压力。,解:(1)让振动质量向下单位位移需施加的力为：k=czA=0.6103 20=12103kN/m,(2)求荷载频率,求动力系数,竖向振动振幅,地基最大压力,(3)：,求动力系数,竖向振动振幅,地基最大压力,单自由度体系简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼),运动方程：,位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。,惯性力与位移同方向同时达到幅值。,动内力计算：当动荷
38、载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系 数与位移动力系数相同。动内力幅值为：Md=Mst Mst是动荷载幅值引起的静内力。,当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力 系数与位移动力系数不相同。可用以下三种方法计算。,将荷载化成作用在质点且与质点运动方向一致的荷载,=,+,(b)中质点无位移，无 惯性力，按静力法 计算反力。,(c)所示是力 作用于 质点上的情况。,内力及其它处位移为(b)(c)之和,内力动力系数与位移动力系数不相同,利用幅值方程求解,位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。,惯性力与位移同方向同时达到幅值。线弹性体系，位移达幅值时内力也达
39、幅值,振幅方程为：,直接建立运动方程求解。,柔度方程：,或：,动内力计算,例：求质点稳态振幅及梁跨中动弯矩。,振幅方程为：,10-4 多自由度体系的自由振动,很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。,一、振动微分方程的建立及自振频率和主振型计算,柔度法、刚度法,1、柔度法,建立振动微分方程：（建立位移协调方程）m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应等于体系在当时惯性力,作用下所产生的静力位移。,柔度法建立的振动微分方程,柔度法建立的振动微分方程,频率方程和自振频率：,设各质点按相同频率
40、和初相角作简谐振动,Y1，Y2是质点位移幅值,左式表明：主振型的位移幅值（Y1、Y2）就是体系在此主振型惯性力幅值作用下引起的静力位移。还可以改写为：,振型方程：其中：=1/2Y1，Y2不能全为零。,频率方程：为一关于的二次方程。解出的两个根：,求得频率：,频率方程和自振频率：,体系频率的数目总等于其自由度数目,上式是用柔度系数表达的两个自由度体系的频率方程,主振型(normal mode shape),不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。,第一主振型,第二 主振型,频率的数目总等于其自由度数目,主振型是体系由此主振型惯性力幅值,所引起的静力位移。,例 求简支梁的自振 频率和
41、主振型。,解：1）求柔度系数,求得频率：,求得主振型：,求得主振型：,例 求简支梁的自振 频率和主振型。,另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：,对称情况：,反对称情况：,解：,例：求图示体系对称振动情况下的频率。,2,1,0.5,1,1,0.875,0.25,Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。,2、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系,r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,质点动平衡方程:,即:,设:,特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相
42、位角.2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保 持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数.,结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).,振型计算公式,频率计算公式,频率方程,振型方程,为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0,展开是2的二次方程，解得2 两个根为：,可以证明这两个根都是正根。,与2相应的第二振型：,因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值 求
43、与1相应的第一振型：,2 的两个根均为实根；,矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。,故矩阵k为正定矩阵。,k11k22-k12k210,2 的两个根均为正根；,与2相应的第二振型：,求与1相应的第一振型：,多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。,几点注意：（P26）12必具有相反的符号。多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。自振频率和主振型是体系本身的固有特性。,一般解：,在这种特定的初始条件下出现的
44、振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。,0,0,例,质量集中在楼层上m1、m2，,层间侧移刚度为k1、k2,k21,k11,解：求刚度系数：,k11=k1+k2,k21=k2,k22,k12,k22=k2,k12=k2,1)当m1=m2=m,k1=k2=k,代入频率方程：,求振型：,1第一主振型：,Y21=1.618,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,Y22=0.618,Y11=1,第二主振型,2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=k2,求频率：,求振型：,如n=90时,当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）,第一振型：,第二振型：
45、,特征方程：,y1,yi,yn,ri,动平衡方程：,ri,ri 应满足刚度方程,kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零）时在点i所需施加的力。,.,.,或：,设解为：y=Ysin(t+),得振幅方程：(K2 M)Y=0,得频率方程：K2 M0,可求出个频率,与相应的主振型向量由(K2 M)Y（）=0不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。,.,.,.,例：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。,解：1）求刚度系数：,k,k33=k/5,刚度矩阵K和质量矩阵M：,展开得：234222252250解得：1=1.293，
46、2=6.680，3=13.027,2）求频率：代入频率方程：K2 M0,3）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后两式：（令Y3i=1）,（a）,Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。,利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：,由刚度法振幅方程：(K2 M)Y=0前乘K1=后得：(I 2 M)Y=0令=1/2(M I)Y=0得频率方程：M I=0其展开式:,是关于的n次代数方程,先求出i再求出频率i,将i代入(M i I)Y(i)=0可求出n个主振型.,可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计
47、算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。,例：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。=1/k,11=,解：1）求柔度系数：,k,柔度矩阵和质量矩阵M：,21,31,32=4,22=4,13=,23=4,33=9,12=,展开得:,解之:1=11.601，2=2.246，3=1.151,三个频率为：,3）求主振型：（令Y3i=1）将1代入振型方程：（M 1I）Y0的前两式：,2）求频率：,解得：,同理可得第二、第三振型,主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。,对这两种静力平衡状态应用功的互等定理：,因为：12,主振型之间的第一正交关系,一般说来，设ij 相
48、应的振型分别为：y（i），y（j）,由振幅方程：(K2 M)Y=0,得：K Y=2 M Y,K Y（i）=2 M Y（i）,Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i）（a）,K Y（j）=2 M Y（j）,Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j）（b）,10-5 主振型的正交性,Y（j）T,KT,Y（i）,=2jY（j）T,MT,Y（i）,Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i）（a）,Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j）（b）,（c）=,（b）转置,（a）（c）,第一正交关系：相对于质量矩阵(mass matrix)M来说，不同频率相
49、应的主振型彼此是正交的;,第二正交关系：相对于刚度矩阵(stiffness matrix)K来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;,如同一主振型,定义：,所以：,由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。,注：主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。利用正交性来检查主振型是否正确、来判断主振型的形 状特征。,用Y（j）TM前乘,位移按主振型分解,可将n个耦联运动方程化成 n个独立的一元方程求解,主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此 它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振 型的振动。即各主振型
50、可以单独出现。,利用正交关系确定位移展开公式中的系数。,例：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：,解：（1）演算第一正交性。,三个主振型分别如下，演算正交性。,（2）演算第二正交性。,同理：,同理：,返回,1、柔度法（忽略阻尼）因为在简谐荷载作用下，荷载频率在共振区之外，阻尼影响很小；在共振区之内时，计不计阻尼，虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。,（2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。,10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动,（1）建立振动微分方程,各简谐荷载频率相同相
