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1、二自由度系统,第三章,1,3.1 引言,建模方法1：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。,缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间的相互影响。,优点：模型简单；,分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。,二自由度系统振动,建模方法2：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；,缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。,二自由度系统振动,建模方法3：,车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：分别考虑了人与车、车与车
2、轮之间的相互耦合，模型较为精确.,问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,二自由度系统振动,3.2运动微分方程,二自由度系统振动,运动微分方程,例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。,不计摩擦和其他形式的阻尼。,试建立系统的运动微分方程。,二自由度系统振动 / 运动微分方程,解：,建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,x1,二自由度系统振动 / 运动微分方程,速度,F2(t),建立方程：,矩阵形式：,F1(t),F2(t),二自由度系统振动 / 运动微分方程,如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,二自由度
3、系统振动 / 运动微分方程,可统一表示为：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量,二自由度系统振动 / 运动微分方程,位移向量,刚度矩阵,式中：,二自由度系统振动 / 运动微分方程,1. 质量矩阵的形成, 系统的动能可以表示为,M即为所求的质量矩阵，显然为对称矩阵。,二自由度系统振动 / 能量法,用能量法确定振动系统的M、K、C,二自由度系统振动 / 能量法,2. 刚度矩阵的形成系统的势能可写为,K 即为所求的刚度矩阵，也是对称矩阵。,二自由度系统振动 / 能量法,二自由度系统振动 / 能量法,3. 阻尼矩阵的
4、形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为,C 即为所求的阻尼矩阵，也是对称矩阵。,二自由度系统振动 / 能量法,二自由度系统振动 / 能量法,例2：两自由度系统,摆长 l，无质量，无阻尼做微摆动,求： 质量矩阵、刚度矩阵和 运动微分方程,x,m1,k1,k2,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立。,根据分析力学的结论，对于定常约束系统：,动能：,势能：,二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y
5、，总有 成立,动能：,除非,二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立,势能：,对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。,K 正定,对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。,K 半正定,二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及 K 阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统 。,二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,耦合与坐标变换,矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。,质量矩阵中出现耦合项称为惯性
6、耦合。,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。,以两自由度系统为例:,不存在惯性耦合,二自由度系统振动 / 耦合,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度,不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.,同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.,耦合的表现形式取决于坐标的选择,耦合,非耦合,出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力.,二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,3.3不同坐标系下的运动微分方程,自由度与广义坐标,在任意坐标系中，要
7、确定一个物体的位置所确定独立坐标的数目，称为这个物体的运动自由度。比如：在空间作任意运动的质点具有三个自由度；确定一个刚体在空间的位置，则需要六个参数，因而刚体作一般运动时具有六个运动自由度。为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去直角坐标、之外，我们也可以用角度、及从物体中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位置。,内容回顾,以汽车的二自由度振动模型为例,汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性元件k1、k2为汽车的前，后板簧。,Ic,m,二自
8、由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,采用能量表达式来建立其运动微分方程,只考虑杆的竖向运动和绕质心的转动。系统的动能和势能为 :,只需要取定其中两个坐标，而将其他两个消去,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,1取广义坐标为 yA , q,yC和yB可用yA和q表示为:,在yA和q表示下系统的动能和势能为表示为:,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,因此在 yA 和 q 坐标下的运动微分方程为:,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,2取广义坐标为yc和q,yA，yB用yc和q表示为,为由yc，q到yA，yB的变换矩阵。,二自由度系统振动 / 不同坐标系
9、的运动微分方程,在yc ， q下系统的动能和势能为,M,K,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,运动微分方程为,当,时方程将存在弹性耦合。,则刚度矩阵为对角矩阵方程已经解耦。 这时系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。,当,M,K,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,3. 取广义坐标为yA ， yB,yc和q可用yA和yB表示为：,变换矩阵为:,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,在yA和yB下的质量矩阵为,当 时，方程存在惯性耦合。,M,在yA和yB下的的运动微分方程为,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,当 时，质量矩阵为对角矩阵，刚度矩阵也
10、为对角矩阵，运动微分方程已经解耦。此时有,这时，A点和B点的振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬架和后悬架的振动相互独立，系统就如同两个相互独立，没有联系的单自由度系统，在汽车理论中，称为悬挂质量分配系数。,此时，系统的运动成为2个相互独立的单自由度系统。,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,如果广义坐标x和y之间有变换关系：,在x，y下的刚度矩阵分别为K和K1，则由于系统势能大小与广义坐标的选取无关，有:,从而得到,坐标变换,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,同样，系统动能和能量耗散函数的大小也与广义坐标的选取无关，可以得到两个坐标系x和y的质量矩阵M、M1和阻尼矩
11、阵C、C1之间的关系：,x,y,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,总结,系统的质量矩阵、刚度矩阵及阻尼矩阵的具体形式/运动微分方程与所选取的描述系统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩阵u，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解x。,二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程,研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型。,表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic。,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两
12、个弹簧来表示。,写出车体微振动的微分方程。,选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,简化形式,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,首先求刚度矩阵,令：,对D点取矩：,力平衡：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,车体所受外力向D点简化为合力 PD 和合力矩 MD 。,微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：,令：,对D点取矩：,力平衡：,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,求质量矩阵,令：,质心C所受的惯性力：,力平衡：,力矩平衡：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,令：,
13、质心C所受的惯性力矩：,力平衡：,对D点取矩：,质心C所受的惯性力：,质量矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,质量矩阵,刚度矩阵,运动微分方程,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,：作用在D点的外力合力和合力矩,如果D点选在这样一个特殊位置，使得：,只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,如果D点选在质心C：,只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？,即：,若能够，则有：,方程解耦，变成了两个单自
14、由度问题。,使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程, 3.4 二自由度无阻尼自由振动,1,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩阵 u ，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解。,多自由振动运动方程：,当,即为无阻尼自由振动，则,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,如果存在变换矩阵u使方程解耦。即当x=uy时，在y下的运动微分方程为：,二自由度无阻尼自由振动的运动方程可写为，,二自由度系统振动 / 无阻尼
15、自由振动,其解为：,如果初始条件为：,则方程的解为：,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,由此得到方程的解：,可得系统的自由振动是简谐振动，即：,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,在特殊的初始条件下 ，方程能够解耦，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解。 此时，系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零或 。,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,例：无阻尼系统,设m1m2=m。这是个对称系统，对称点为k1的中点。,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,1. 把 m1，m2 向右移动相同的距离 x0，然后同
16、时无初速度地放开，这时初始条件为：,在整个振动过程中，弹簧k1不变形，m1和m2受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同。这样m1和m2之间的距离始终保持不变，二者就如同一个刚体。,讨论几种特殊的初始条件下的振动,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,此时等效为一个单自由度系统。,固有频率为：,响应为：,并有：,即此时系统两个自由度以 为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位为零。,k,k,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,2m1向左，m2向右，均移动 x0，然后同时无初 速度地放开，这时初始条件为:,由于系统的对称性，在振动过程中，系统的中点
17、即k1的中点没有运动，就象一个固定点。k1被分成相等的两半，每一半的弹簧的刚度为2k1,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,即此时系统两个自由度以 为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为 。,响应为:,固有频率:,并有：,2k1,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,3如果初始条件为：,即m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零。,可得到：,此时，与第一种初始条件下一样，系统两个自由度以 为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零。,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,4如果初始条件为：,即m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，方向相反大小
18、相等，均为,可得到：,此时，与第二种初始条件下情况相同，系统两个自由度以 为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,对于任意的初始条件,可分解为如下的四种初始条件之和：,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,根据叠加原理，系统在任意初始条件下的自由振动响应为：,或者写成：,二自由度系统振动 / 无阻尼自由振动,(1) 二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下，其运动方程可解耦，此时自由振动是简谐振动。 (2) 系统的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或 ，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间
19、无关的常数。 (3) 这种振动为系统的固有振动，固有振动时的频率称为系统的固有频率，坐标之比称为固有振型，简称振型，振型与固有频率是一一对应的。二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,设系统的固有振动时的解为：,将上式代入方程式可以得到：,对这一线性齐次代数方程组。要想得到且A1，A2不全为零的解，方程系数矩阵行列式的值只能为零。,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,整理得：,解之得到两个根：,取正平方根即得到系统的两个固有频率：,二自由度系统
20、振动 / 固有频率和固有阵型,将w1代入方程式，得到 ：,得到u11，u21的比值：,这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果也是一致的。,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,再将w2代入方程 ，得：,这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果同样也是一致的。,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,设系统的运动微分方程为：,系统的响应有如下形式：,，,这里：,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,代人方程 ：,两边左乘振型的转置uT，并设：,得：,上式为一个单自由度系统无阻尼自由振动方程，它的解为：,为简谐振动。,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,代入方程 ，,对于线性齐次
21、代数方程组。振型u有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零，即有 ：,称为特征方程或频率方程。,可以求出它们各自对应的振型 u1u1l，u2lT， u2u12，u22T。,可以看出，固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚度矩阵决定，与外部激励无关，是系统固有的性质。,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,取 ul 为振型矩阵 u 的第一列，u2 为第二列，即,得到 ，u1和 ，u2后，可以得到解：,二自由度系统振动 / 固有频率和固有阵型,例：两自由度弹簧质量系统,求：固有频率和主振型。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态,解：,动力学方程：,令主振动：,或直接用,
22、得：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态,令,特征方程：,为求主振型，先将 代入 ：,一个独立,令,则,第一阶主振型：,令,则,代入,第二阶主振型：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态,同理：,第一阶主振型：,第二阶主振型：,画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。,第一阶主振动:,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。,同向运动,第一阶主振型：,第二阶主振型：,画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值,多自由度系统振动 / 多自由度
23、系统的自由振动,第二阶主振动:,两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。,异向运动,第一阶主振型：,第二阶主振型：,第一阶主振动:同向运动,始终不振动点,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,无节点,一个节点,第二阶主振动:异向运动,节点,如果传感器放在节点位置，则测量的信号中将不包含有第二阶模态的信息 。,例1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1k2k3k，物体的质量m1m，m22m。,分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为,解：（1）建立运动微分方程式,质量矩阵,刚度矩阵,将M和K代入频率方程，得,系统的第一阶和第二阶固有频率为,（2）解频率方程，求i,将 、 分别代入，得,（3）求主振型,主振型为,节点,
