第一章电磁辐射与材料结构ppt课件.ppt

《第一章电磁辐射与材料结构ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章电磁辐射与材料结构ppt课件.ppt（100页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第一章 电磁辐射与材料结构,主要内容,第一节 电磁辐射与物质波 第二节 材料结构基础,第一节 电磁辐射与物质波,一、电磁辐射与波粒二象性 二、电磁波谱 三、物质波,一、电磁辐射与波粒二象性,电磁辐射是指在空间传播的交变电磁场。电磁辐射也可称为电磁波（有时也将部分谱域的电磁波泛称为光）。根据量子理论，电磁波具有波粒二象性。描述电磁波波动性的主要物理参数有：波长（）或波数（或K）、频率（）及相位（）等。波动性 =c微粒性：电磁波是由光子所组成的光子流。电磁波波动性与微粒性的关系是E=hP=h/ 等式左边与右边分别为表示电磁波微粒性与波动性的参数,二、电磁波谱,电磁波谱的分区,长波部分（低能部分），

2、包括射频波（无线电波）与微波，有时习惯上称此部分为波谱。中间部分，包括紫外线、可见光和红外线，统称为光学光谱，一般所谓光谱仅指此部分而言。短波部分（高能部分），包括X射线和射线（以及宇宙射线），此部分可称射线谱，是能量高的谱域。,三、物质波,运动实物粒子也具有波粒二象性，称为物质波或德布罗意波，如电子波、中子波等。德布罗意关系式(=h/p)=h/mv 对于高速运动的粒子，m为相对论质量，有 当vc时，mm0。,电子波（运动电子束）波长,将电子电荷e1.6010-29C、电子质量mm0=9.1110-31kg及h值代入上式，得 式中，以nm为单位，V以V单位。,不同加速电压下电子波的波长（经相对

3、论校正）,第二节 材料结构基础,一、原子能态及其表征 二、分子运动与能态 三、原子的磁矩和原子核自旋 四、固体的能带结构五、晶体结构六、干涉指数七、晶带,一、原子能态及其表征,1原子结构与电子量子数 2原子能态与原子量子数 3原子基态、激发、电离及能级跃迁,1原子结构与电子量子数,核外电子的运动状态由n(主量子数)、l(角量子数)、m(磁量子数)、s(自旋量子数)和ms(自旋磁量子数)表征。5个量子数也相应表征了电子的能量状态(能级结构)。n、l、m对核外电子状态的表征意义,原子的电子能级示意图,2原子能态与原子量子数,多电子原子中，存在着电子与电子相互作用等复杂情况，量子理论将这些复杂作用分

4、解为：轨道-轨道相互作用：各电子轨道角动量之间的作用自旋-自旋相互作用：各电子自旋角动量之间的作用自旋-轨道相互作用：指电子自旋角动量与其轨道角动量的作用，单电子原子中也存在此作用并将轨道-轨道及自旋-自旋作用合称为剩余相互作用，进而通过对各角动量进行加和组合的过程（称为偶合）获得表征原子整体运动状态与能态的原子量子数。,偶合分为L-S偶合与J-J偶合两种方式。J-J偶合是指当剩余相互作用小于自旋-轨道相互作用时，先考虑后者的偶合（这种偶合作用适用于重元素原子）。L-S偶合是指当剩余作用大于自旋-轨道作用时，先考虑前者的偶合这种偶合方式适用于轻元素和中等元素（Z40）。 L-S偶合可记为（s1

5、，s2，）（l1，l2，）=（S，L）=J （1-9）此式表示将各电子自旋角动量（ ， ，）与各电子轨道角动量（ ， ，）分别加和（矢量和），获得原子的总自旋角动量PS与总轨道角动量PL，然后再由PS与PL合成总（自旋-轨道）角动量PJ（即PJ=PS+PL）。,偶合方式,按L-S偶合，得到S、L、J、MJ等表征原子运动状态的原子量子数。S称总自旋量子数，表征PS的大小。L称总（轨道）角量子数，表征PL的大小。J称内量子数（或总量子数），表征PJ的大小；J为正整数或半整数，取值为：L+S，L+S-1，L+S-2，L-S，若LS，则J有2S+1个值，若LS，则J有2L+1个值。MJ称总磁量子数，表

6、征PJ沿外磁场方向分量的大小，MJ取值为：0，1，2，J（当J为整数时）或1/2，3/2，J（当J为半整数时）。,用n（主量子数）、S、L、J、MJ等量子数表征原子能态，则原子能级由符号nMLJ表示，称为光谱项。符号中，对应于L0，1，2，3，4，常用大写字母S、P、D、F、G等表示。M表示光谱项多重性（称谱线多重性符号），即表示M与L一定的光谱项可产生M个能量稍有不同的分裂能级（每一分裂能级称为一个光谱支项），此种能级分裂取决于J，每一个光谱支项对应于J的一个确定取值，而M则为J的可能取值的个数（即LS时，M=2S+1；LS时，M=2L+1）。 当有外磁场存在时，光谱支项将进一步分裂为能量差

7、异更小的若干能级（此种现象称塞曼分裂）。其分裂情况取决于MJ，每一分裂能级对应于MJ的一个取值，分裂能级的个数则为MJ可能取值的个数。,例如：某原子的一个光谱项为23PJ，即有n=2，L=1，设s=1，（故M=2s+1=3），则J=2，1，0。当J2时，MJ=0，1，2；J=1时，MJ=0，1；J=0时，MJ0。23PJ光谱项及其分裂如图1-2所示。 图1-2 23PJ谱项及其分裂示意图,属于本征值E，L，S相同的(2s+1)(2l+1)个本征态的集合，简称谱项。,记作2s+1L,2s+1称作多重度,在L取不同值时用大写字母表示如下：,L: 0 1 2 3 4 5 6 7 S P D F G

8、H I K ,2 原子光谱项：,L=0,S=0,光谱项1P,L=2,S=1/2,光谱项2D,例,L=4,S=1,光谱项3G,2s+1=1,2,3 的状态分别称为单重态，二重态,三重态,原子光谱项的意义,1 代表同一组态中具有相同L，S值的诸状态总合。,2 每个光谱项对应原子的一个能级。,3 光谱支项,2s+1LJ,例 L=1,S=1，J=2，1，0,3P2，3P1，3P0,每个光谱支项含2J+1个状态。,考虑旋轨耦合,原子的能级与L，S，J有关。,J称内量子数（或总量子数），表征PJ的大小；J为正整数或半整数，取值为：L+S，L+S-1，L+S-2，L-S，若LS，则J有2S+1个值，若LS，

9、则J有2L+1个值。,1916年，柯塞耳提出了原子的壳层结构：n相同的电子组成一个“壳层”，对应于n=1，2，3等状态的壳层分别有大写字母K、L、M、N、O、P 等来表示。l相同的电子组成支壳层或分壳层，对应于l=0，1，2， 等的状态分别用小写字母s、p、d、f、g、h 等来表示。,下面根据泡利不相容原理，计算各壳层所可能容纳的电子数。,（1）先考虑具有相同的n和l量子数的电子所构成的一个次壳层中可以容纳的最多电子数：,对一个l，可以有（2l+1）个ml，对每一个ml ，又可以有两个ms，因此，对每一个l，可以有2（2l+1）个不同的状态。这就是说，每一个次壳层中可以容纳的最多电子数是Nl=

10、2（2l+1）。,（2）现在考虑具有相同n量子数的电子所构成的一个壳层中最多可容纳的电子数：对于一个n，l值可以有n个，对应于l=0，1，2， （n-1）。因此对应每一个n，可以有的状态数，也就是可以容纳的最多电子数是：,这样，我们可以计算出原子内各壳层和支壳层上最多可容纳的电子数，如下表所示：,当原子处于正常状态时，其中每个电子总是尽可能占有最低的能量状态，从而使整个原子系统的能量最低，即原子系统能量最小时最稳定。这个结论称为“能量最小原理”。,4.能量最小原理,根据能量最小原理，电子一般按n由小到大的次序填入各能级，但由于能级还和角量子数l有关，所以在有些情况下，n较小的壳层尚未填满时，n

11、较大的壳层就开始有电子填入了。,关于n和l都不同的状态的能级高低问题，我国学者徐光宪总结出一个规律：,对于原子的外层电子，能级高低以 来确定， 越大，能级越高。,按照这个规律，可以得到能级由低到高的顺序为：,例如：4s（即n=4，l=0）和3d（即n=3，l=2）两个状态，前者的（n+0.7l）=4，后者的（n+0.7l）=4.4 ，所以4s态应比3d态先填入电子。,下面我们根据以上的结论讨论几种简单元素的电子组态。,（1）氢原子外层只有一个电子，其基态可用量子数1，0，0，1/2或1，0，0，-1/2来描述。由于主量子数为1，角量子数为0，而填充电子数为1，故电子的组态记为：1s1。,（2）

12、氦原子基态的量子数与氢原子相同，但因有2个电子且自旋取向相反，其基态可用量子数1，0，0，+1/2和1，0，0，-1/2来描述。由于主量子数为1，角量子数为0，而填充电子数为2，其电子的组态记为：1s2。,（3）钾原子有19个电子，由于钾的3d分壳层能量比4s分壳层的能量高，钾的第19个电子不是去占据3d分壳层，而是填充到4s分壳层，其电子的组态记为：1s22s22p63s23p64s1。,背景知识回顾,1、 原子的基本构造,质量数（A）= 质子数（Z）+ 中子数（N）,背景知识回顾,2、 什么叫电子层？_,在含有多个电子的原子里,电子分别在能量不同的区域内运动,这种不同的区域称为电子层,3、

13、原子核外电子排布有哪些规律？,(1)核外电子总是尽量先排布在能量较低的电子层，然后由里向外，依次排布在能量逐步升高的电子层(能量最低原理)。(2)原子核外各电子层最多容纳2n2个电子。(3)原于最外层电子数目不能超过8个(K层为最外层时不能超过2个电子)。(4)次外层电子数目不能超过18个(K层为次外层时不能超过2个)，倒数第三层电子数目不能超过32个。,背景知识回顾,原子核,电子层,核电荷数,该电子层上的电子,He、Ne、Ar原子的核外电子分层排布示意图,3. 原子基态、激发、电离及能级跃迁,通常，原子核外电子遵从能量最低原理、包利（Pauli）不相容原理和洪特（Hund）规则，分布于各个能

14、级上，此时原子处于能量最低状态，称之为基态。原子中的一个或几个电子由基态所处能级跃迁到高能级上，这时的原子状态称激发态，是高能态；而原子由基态转变为激发态的过程称为激发。显然，激发需要能量，此能量称为激发能，常以电子伏特（eV）表示，称为激发电位。激发能的大小应等于电子被激发后所处（高）能级与激发前所处能级（能量）之差。,原子激发态是不稳定态，大约只能存在10-8s10-10s，电子将随即返回基态。原子中电子受激向高能级跃迁或由高能级向低能级跃迁均称为电子跃迁或能级跃迁。电子由高能级向低能级的跃迁可分为两种方式：辐射跃迁和无辐射跃迁跃迁过程中多余的能量即跃迁前后能量差以电磁辐射的方式放出，称之

15、为辐射跃迁；若多余的能量转化为热能等形式，则称之为无辐射跃迁。,原子中的电子获得足够的能量就会脱离原子核的束缚，产生电离。使原子电离所需的能量称之为电离能，常以电子伏特表示，称为电离电位。原子失去一个电子，称为一次电离。再次电离使原子再失去一个电子，称为二次电离。三次电离等依次类推。,二、分子运动与能态,1.分子总能量与能级结构 2.分子轨道与电子能级 3.分子的振动与振动能级,1. 分子总能量与能级结构,分子的运动及相应能态远比原子来得复杂。一般可近似认为，分子总能量（E）由分子中各原子核外电子轨道运动能量（Ee），原子（或原子团）相对振动能量（Ev）及整个分子绕其质心转动的能量（Er）组成

16、，即 E= Ee+Ev+Er （1-10） 由于Ee（简称电子运动能）、Ev（简称分子振动能）及Er（简称分子转动能）均是量子化的，故分子能级由电子（运动）能级、振动能级和转动能级构成，如图1-3所示。,图1-3 （双原子）分子能级（结构）示意图A、B-电子能级；V、V-振动能级；J、J-转动能级,2. 分子轨道与电子能级,按分子轨道理论，原子形成分子后，电子不再定域在个别原子内，而是在遍及整个分子范围内运动；而且每个电子都可看作是在原子核和其余电子共同提供的势场作用下在各自的轨道（称为分子轨道）上运动。分子轨道可近似用原子轨道的线性组合表示。分子轨道可分为成键轨道与反键轨道。成键分子轨道能量

17、较参与组合的原子轨道能量低，而反键分子轨道能量则高于参与组合的原子轨道能量。 按价键理论，具有未成对电子的原子接近时可因未成对电子配对从而使原子轨道部分重叠形成分子轨道。自旋反向的未成对电子配对形成成键轨道，自旋同向电子配对则形成反键轨道。,根据分子轨道沿键轴的分布特点（由形成分子轨道的原子轨道重叠方式所决定），将其分为轨道（轨道上相应的电子及成键作用称电子与键）和轨道（相应的电子与键）等。电子的分子轨道运动能量与参与组合的原子轨道能量及它们的重叠程度有关。将分子轨道运动按能量大小顺序排列，即可得到分子的电子能级图。以O2为例，其电子能级图如图1-4所示。分子中的电子在其电子能级中的分布也遵从

18、能量最低原理与包利不相容原理。,N2 （B,C,N),第二周期同核双原子分子,原子轨道,分子轨道,原子轨道,(a),O2 (O,F),第二周期同核双原子分子,原子轨道,原子轨道,分子轨道,(b),带“*”者为反键轨道(如2s*)；无“*”者为成健轨道(如2s),3. 分子的振动与振动能级,（1）双原子分子的振动 （2）多原子分子的振动,（1）双原子分子的振动,分子振动是指分子中原子（或原子团）以平衡位置为中心的相对（往复）运动。双原子分子的振动可近似用弹簧谐振子（连有两个小球的弹簧体系，作无阻尼同周期振动）模拟。即将质量分别为m1与m2的两个原子视为小球，而将连接它们的化学键视为质量可忽略的弹

19、簧。按虎克定律，谐振子振动频率（）是弹簧力常数（k）和小球折合质量（）的函数；而分子振动则分别以化学键力常数与原子折合质量为k与，有 （1-11）原子折合质量 （1-12）,分子振动与弹簧谐振子相比，不同之处在于振动能量是量子化的。按量子理论的推导，有 （1-13）式中：Ev分子振动能； V振动量子数，V可取值0，1，2，； h普朗克常数。,（2）多原子分子的振动,由于组成分子的原子数量增加及原子的组合排布情况（组成分子的键或基团和空间结构）的不同，多原子分子振动远较双原子分子复杂。 多原子分子振动可分为伸缩振动与变形振动两类。伸缩振动是指原子沿键轴方向的周期性（往复）运动；振动时键长变化而键

20、角不变（双原子振动即为伸缩振动）。变形振动又称变角振动或弯曲振动，是指基团键角发生周期性变化而键长不变的振动。伸缩振动与变形振动的分类列于表1-3。图l-5为振动类型示例。,表1-3 分子振动类型 图1-5 分子振动类型示例亚甲基的各种振动“+”表示垂直纸面向里运动；“-”表示垂直纸面向外运动,三、原子的磁矩和原子核自旋,1.原子的磁矩 2.原子核自旋与核磁矩,1. 原子的磁矩,（1）原子的轨道磁矩 （2）电子的自旋磁矩 （3）单电子原子内量子数与磁矩 （4）多电子原子的磁矩,（1）原子的轨道磁矩,原子中电子绕核旋转的轨道运动产生轨道磁矩。原子（中电子）轨道磁矩(l)与轨道角动量(Pl)的关系

21、为 l=-Pl （1-14） 式中：轨道运动磁旋比，=e/2me（e为电子电荷，me为电子质量）。有时将式（1-14）改写为 （1-15） 式中：常数；=h/2，h为普朗克常数；e玻尔（Bohr）磁子，磁矩的自然单位， （或J/T）； ge电子轨道运动g因子，ge=1。,角量子数l表征Pl的大小，按量子理论，有 （1-16）故由（1-15）式有 （1-17）l在外磁场方向分量的大小（lz）由磁量子数m决定，有 （1-18）,（2）电子的自旋磁矩,电子自旋运动也产生磁矩。电子自旋磁矩（s）与自旋角动量（Ps）的关系为 （1-19） 或 （1-20） 式中：s自旋运动磁旋比； gs电子自旋运动g因

22、子（电子自旋因子），gs=2.00232。 s的大小由自旋量子数s决定（1-21） s在外磁场方向的分量由自旋磁量子数ms决定，有 （1-22）,（3）单电子原子内量子数与磁矩,单电子原子中也存在着电子自旋-轨道相互作用（当用n、l、m、s、ms共同表征单电子原子运动状态时忽略了此作用）。按量子理论，通过对Ps与Pl偶合并引入量子数j表征此作用，有 Pj=Ps+Pl （1-23） （1-24） 式中：Pj总角动量； j内量子数，表征Pj 的大小，j取值为l+s和l-s，自旋量子数s=1/2。,单电子原子中有l、s和I（原子核磁矩）。由于I 与l和s相比，数值小3个数量级，故可近似认为单电子原子

23、总磁矩j由l与s合成。j与总角动量Pj的关系为 （1-25）式中：g单电子原子磁矩因子。,（4）多电子原子的磁矩,多电子原子的磁矩J由原子内各电子的轨道磁矩和各电子的自旋磁矩合成（矢量和）而来，有 （1-26）式中：PJ总(轨道-自旋)角动量，PJ = PS +PL； g多电子原子磁矩因子。 J的大小由内量子数J决定，有 （1-27） J在外磁场方向的分量由总磁量子数MJ决定，有 （1-28）,若存在外磁场B，则J与B发生相互作用，按经典电磁理论，相互作用能 （1-29） 将式（1-28）代入上式，得 （1-30） E（MJ）是原子受外磁场作用而附加的能量，且其值因MJ取值不同而不同。由此可知

24、，J值一定的能级（光谱支项），在有外磁场作用时将发生能级分裂，分裂能级个数为MJ可能取值的个数，此即为前文提及的赛曼分裂。,2. 原子核自旋与核磁矩,（1）原子核自旋 （2）核磁矩,（1）原子核自旋,原子核由质子和中子组成，质子和中子在核中既有轨道运动又有自旋运动并有很强的自旋-轨道相互作用。整个原子核的总角动量（PI）称为核自旋。PI的大小由核自旋量子数I表征，有 （1-31） I可取值0，1/2，1，3/2，。显然，I=0时PI =0，即原子核无自旋现象；只有I0才有核自旋。实验证明，I与原子核质量数（A）及原子序数（Z）有关，如表1-4所列。,表1-4 核自旋量子数与原子的质量数及原子序

25、数的关系PI在外磁场的分量大小（PIz）由核自旋磁量子数mI决定，mI的可能取值为I，I-1，-I。有 （1-32）,（2）核磁矩,核自旋产生核磁矩（I）。与电子磁矩类似，I与PI的关系为 （1-33） 式中：I核磁旋比。 常采用g因子表达的形式，有 （1-34） 式中：gI核自旋运动g因子，其值由实验测定； I核磁子，核磁矩的自然单位，I=5.05110-27Am2（或JT）（比e小3个数量级）。,I的大小与核自旋量子数I有关，有（1-35） I在外磁场方向的分量大小由mI决定，有 （1-36） 当mI=I时，mIz值最大，常以此值表示核磁矩的大小，一般文献中所列核磁矩（）均为此值（并以I为

26、单位），即 （1-37）,四、固体的能带结构,1.能带的形成 2.能带结构的基本类型及相关概念,1. 能带的形成,原子中核外电子在原子轨道上运动并处于不同的分立能级上。当N个原子相接近形成晶体时将发生原子轨道的交叠并产生能级分裂现象。量子理论证明，N个原子中原先能量值相同的能级（如各原子的2s能级）将分裂成N个能量各不相同的能级；但分裂的各能级能量差值不大。由于固体中原子数N很大（1mm3晶体，N=10191021），因而N个分裂的能级差值极小，以致于可以视为连续分布，即形成有一定宽度的能带。能带的形成如图1-6所示。一般晶体的能带宽度（Eg）约为几个eV（最多不过几十个eV）。,图1-6 能

27、带的形成（示意图）,2. 能带结构的基本类型及相关概念,禁带能隙价带导带满带空带绝对零度时固体中电子占据的最高能级称为费米能级，其能量称费米能（EF）。,满带：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满，这样的能带称为满带。当满带中的电子从它原来占据的能级转移到同一能带中其它能级时，因受泡利不相容原理的限制，必有另一个电子作相反转移，总效果与没有电子转移一样。即外电场不能改变电子在满带中的分布，所以满带中的电子不能起导电作用。导带：由价电子所占据的较高能带一般没有被电子完全填满，这种未填满电子的能带称为导带或价带。在外电场的作用下，导带中的电子可以进入同一能带中未被填充的稍高的能级，这个转移过程没有

28、反向的电子转移与之抵消。所以导带中的电子具有导电作用。空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，这样的能带称为空带。与各原子的激发态能级相对应的能带，在未被激发的正常情况下就是空带。空带中若有被激发的电子进入，则空带就变成了导带。 禁带：两个相邻能带间的间隔为禁带，禁带中不存在电子的定态。禁带的宽度对晶体的导电性起着重要的作用。,、能带(energy band),量子力学计算表明，固体中若有N个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级,变成了N条靠得很近的能级,称为能带。,能带的宽度记作E ，数量级为 EeV。,若N1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。,一般

29、规律：,1. 越是外层电子，能带 越宽，E越大。,2. 点阵间距越小，能 带越宽，E越大。,3. 两个能带有可能重叠。,、能带中电子的排布,固体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能级上。,排布原则：,. 服从泡里不相容原理（费米子）,. 服从能量最小原理,设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 2 (2 +1)个电子。,这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能带最多能容纳2n(2 +1)个电子。,电子排布时，应从最低的能级排起。,有关能带被占据情况的几个名词：,1满带（排满电子）,2价带（能带中一部分能级排满电子）,3空带（未排电子） 亦称导带,4禁带（不能排电子）,2p、p能带，最

30、多容纳 6n个电子。,例如，1s、s能带，最多容纳 2n个电子。,(2 +1),金属锂(电子层结构为1s22s1)的1s轨道已充满电子，2s轨道未充满电子，1s能带是个满带，2s能带是个导带，二者之间的能量差比较悬殊，它们之间的间隔是个禁带，是电子不能逾越的(即电子不能从1s能带跃迁到2s能带)。但是2S能带中的电子却可以在接受外来能量的情况下，在带内相邻能级中自由运动。,图1-7 固体能带结构的基本类型（示意图）（a）绝缘体 （b）本征半导体 （c）导体 （d）导体,（1）绝大多数固体物质为晶体；（2）晶态与非晶态在一定的条件下可以相互转化；如非晶态的玻璃经高温长时间加热后即可转变为晶态玻璃

31、。（3）晶体有固定的熔点，而非晶体只有一个软化温度范围;（4）晶体具有各向异性（Anisotropy），而非晶体却为各向同性（Isotropy）。,naistrpi aistrpi,五、晶体结构,1.空间点阵的概念 2.阵胞与点阵类型 3.晶体结构与空间点阵 4.晶向指数与晶面指数 5.干涉指数,为了便于说明和分析各种晶体的原子排列规律，把原子看成一个点，并用假想的直线将各点连接起来，这样就构成了一个假想的空间格子。这种用以描述原子在晶体中排列的空间格子叫晶格。组成晶格的最基本几何单 元叫晶胞。晶胞各边尺寸及夹角称为“晶格常数”。,晶胞：晶体的最小重复单元，通过晶胞在空间平移无隙地堆砌而成晶体

32、。,由晶胞参数a，b，c，表示， a，b，c 为六面体边长， ， 分别是bc ， ca , ab 所组成的夹角。,3.1.1 晶体结构的特征与晶格理论,晶胞的两个要素：,1. 晶胞的大小与形状：,2. 晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶胞中的相对位置。 按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。,按带心型式分类，将七大晶系分为14种型式。例如，立方晶系分为简单立方、体心立方和面心立方三种型式。,三种典型立方晶体结构,简单立方,体心立方,面心立方,晶面指数（Crystal-plane Indices） 和晶向指数（Crystal-direction Indices） 在点阵中由结点构成的平面称为晶面

33、（Crystal Plane），连接点阵中任意结点列的直线方向称为晶向（Crystal Direction）。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。,一、晶面和晶向指数的确定 1.晶面指数的确定 国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用三个数字来表示晶面指数。图2-201中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。,(1)建立一组以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单

34、位分别是晶胞边长a，b，c。 (2)求出待标晶面在 a，b，c 轴上的截距x，y，z。如该晶面与某轴平行，则截距为。(3)取截距的倒数 1/x，1/y，1/z。(4)将这些倒数化成最简整数比h，k，l，使hkl = 1/x1/y1/z。(5)将h，k，l 置于圆括号内，写成(h k l)，则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。,所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最简整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。,2.晶向指数的确定

35、用三指数表示晶向指数u v w的步骤如图所示：(1)建立以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长 a，b，c，坐标原点在待标晶向上。(2)选取该晶向上原点以外的任一点 P(x，y，z)。(3)将 x，y，z 化成最简整数比 u，v，w，且 uvw = xyz。(4)将 u，v，w 三数置于括号内就得到晶向指数u v w 。,5.干涉指数,图1-11 （010）与（020）面（干涉指数引例） 若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，与A1，A2，A3，一样，均以晶面指数（010）标识，但若进一步考虑二者晶面间距之不同，则可分别用（010）和（020）标识

36、，此即为干涉指数。,干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识。干涉指数与晶面指数的关系：若将（hkl）晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkln（n为正整数）的晶面干涉指数为（nh nk nl），记为（HKL），dhkln则记为dHKL。例如晶面间距分别为d1102，d110/3的晶面，其干涉指数分别为（220）和（330）。干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布。,六、倒易点阵,1.倒易点阵的定义 2.例易点阵基矢表达式 3.倒易矢量及其基本性质 4.晶面间距与晶面夹角公式 我们介绍前3点。,倒易点阵,晶体中的原子在三维空间周期性排列，这种点

37、阵称为正点阵或真点阵。 以长度倒数为量纲与正点阵按一定法则对应的虚拟点阵-称倒易点阵,1. 倒易点阵的定义,倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间（几何）点（的）阵（列），此对应关系可称为倒易变换。 定义：对于一个由点阵基矢ai（i=1，2，3，应用中常记为a、b、c）定义的点阵（可称正点阵），若有另一个由点阵基矢a*j（j=1，2，3，可记为a*，b*，c*）定义的点阵，满足（1-41）则称由a*j定义的点阵为ai定义的点阵的倒易点阵。,多数情况下取K=1，有时取K=（入射波长）或K=2。 将其分项写出，有 （1-42）,2. 倒易点阵基矢表达式,由式（1-42）可导出由ai（i=

38、1，2，3）表达a*j（j=1，2，3）的关系式，即 a*1=(a2a3)/a1(a2a3)=(a2a3)/Va*2=(a3a1)/a2(a3a1)=(a3a1)/Va*3=(a1a2)/a3(a1a2)=(a1a2)/V (1-43)式中：V阵胞（a1、a2、a3构成之平行六面体）体积，按矢量混合积几何意义，V=a1(a2a3)。,倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为 a*1=(a2a3sin)/Va*2=(a3a1sin)/Va*3=(a1a2sin)/Vcos*=(a*2a*3)/a*2a*3=(coscos-cos

39、)/sinsincos*=(a*3a*1)/a*3a*1=(coscos-cos)/sinsincos*=(a*1a*2)/a*1a*2=(coscos-cos)/sinsin （1-44）,按正点阵与倒易点阵互为倒易，类比式（1-43），可直接得出由倒易点阵基矢表达正点阵基矢的关系为 a1=(a*2a*3)/Va2=(a*3a*1)/Va3=(a*1a*2)/V （1-45）式中：V*倒易阵胞体积，。,式（1-43）与式（1-44）为对各晶系普遍适用的表达式，结合不同晶系特点可得到进一步简化。以立方晶系为例：立方晶系有a=b=c，=，V=a3；将其代入式（1-44），则有 *=90同理可得b

40、*、c*、*、*，即a*=b*=c*=1/a*=*=*=90 （1-46）,3. 倒易矢量及其基本性质,以任一倒易阵点为坐标原点（以下称倒易原点，一般取其与正点阵坐标原点重合），以a*1、a*2、a*3分别为三坐标轴单位矢量。由倒易原点向任意倒易阵点（以下常简称为倒易点）的连接矢量称为倒易矢量，用r*表示。若r*终点（倒易点）坐标为（HKL）（此时可将r*记作r*HKL），则r*在倒易点阵中的坐标表达式为 （1-47）r*HKL的基本性质为：r*HKL垂直于正点阵中相应的（HKL）晶面，其长度r*HKL等于(HKL)之晶面间距dHKL的倒数。,图1-15 晶面与倒易矢量（倒易点）的对应关系,图

41、1-14 倒易矢量性质（与正点阵中对应晶面的关系）的导出,七、晶带,晶体中，与某一晶向uvw平行的所有（HKL）晶面属于同一晶带，称为uvw晶带。晶向uvw中过（点阵坐标）原点的直线称为晶带轴，其矢量坐标表达式为 ua+vb+wc=0（a、b、c为点阵基矢）。由于同一uvw晶带各（HKL）晶面中法线与晶带轴垂直，也即各（HKL）面对应的倒易矢量r*HKL与晶带轴垂直，故有 得 Hu+Kv+Lw=0此式称为晶带定理,同一uvw晶带中各（HKL）面对应的倒易（阵）点（及相应的倒易矢量）位于过倒易原点O*的一个倒易（阵点）平面内。反之，也可以说过O*的每一个倒易（阵点）平面上各倒易点（或倒易矢量）对应的（正点阵中的）各（HKL）晶面属于同一晶带，晶带轴uvw的方向即为此倒易平面的法线方向，此平面称为(uvw)*0零层倒易平面。在倒易点阵中，以uvw为法线方向的一系列相互平行的倒易平面中，(uvw)*0即为其中过倒易原点的那一个倒易平面。uvw晶带与(uvw)*0零层倒易平面的关系如图1-16所示。,图1-16 uvw晶带与(uvw)*0零层倒易平面,若已知uvw晶带中任意两晶面(H1K1L1)与(H2K2L2)，则可按晶带定理求晶带轴指数。按式（1-53），有 H1u+K1v+L1w=0H2u+K2v+L2w=0 解此联立方程，得,