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1、第四章 数值积分与数值微分,本章主要内容：,1、牛顿-柯特斯求积公式,2、复化求积公式,3、龙贝格求积公式,4、数值微分,近似计算,但是在许多实际问题经常遇到下列情况：（1）原函数存在但不能用初等函数表示； （2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂； （3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。,第一节 引 言,取左端点矩形近似,数值积分的思想：,分割、近似、求和,取右端点矩形近似,数值积分公式的一般形式：,其中,求积节点,求积系数,仅与求积节点有关,求积公式的截断误差或余项：,代数精度的判别方法,求积公式的代数精度,如果求积公式,求积公式 具有m次 代数精度的充要条件是 为 时求积公式精确
2、成立，而 为 时求积公式 不能成为等式。,定义：,定理：,对一切不高于m 次的多项式都恒精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。,求积系数的特征：,求积公式的收敛性和稳定性,两者的误差为,求积系数全为正时，公式是稳定的,第二节 牛顿-柯特斯公式,一、插值型求积公式,思想,作n次拉格朗日插值多项式:,设已知函数 在节点,上的函数值,插值型求积公式：,余项,形如 的求积公式至少有,证明：,充分性,设它是插值型求积公式,即它对所有不超过 n 次的多项式精确成立，故至少有n 次代数精度。,定理：,n 次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。,则对所有不超过n次的多项式求积公式精确成立,取,因此求积公式 是插值型的。,必要性,设求积公式至少有n次代数精度,二、 牛顿-柯特斯求积公式,牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式的特殊形式：,求积节点 取等距分布：,步长,其中,柯特斯系数,牛顿-柯特斯公式：,满足：,n = 1时的求积公式,梯形公式,1次代数精度,用梯形面积近似,n=2时的求积公式,3次代数精度,辛蒲生公式,用抛物形面积近似,n = 4 时的求积公式,柯特斯公式,5 次代数精度,近似等于曲边梯形的面积,梯形公式,辛蒲生公式,柯特斯公式,牛顿-柯特斯公式：,例1：分别利用梯形公式、 辛蒲生公式、 柯特斯公式计算积分 的近似值。,解：,
