第七章二元关系ppt课件.ppt

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1、1,2,3,一、有序对,由两个元素x和y(允许x=y)，按一定顺序组成的二元组称为有序对，记作。,(1) 有序性 （当x y时） (2) = 的充分必要条件是 x=u y=v,如：平面直角坐标系中点的坐标。,4,二、笛卡儿积,设A, B为集合，用A中元素为第一个元素，B中元素为第二个元素构成有序对。 所有这样的有序对组成的集合叫做 A和B 的笛卡儿积，记作AB。 AB = | xA yB ,5,例：A=1,2, B=a,b,c AB =, BA =,注意：若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn。,6,2. 性质： 对任意集合A， A=A= 不适合交换律 ABBA (当AB A B时)

2、 不适合结合律 (AB)CA(BC) (当A B C 时), 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA),7,证明：A(BC)=(AB)(AC)证： 任取 A(BC) xAyBC xA(yByC) (xAyB)(xAyC) ABAC (AB)(AC) 所以有A(BC) = (AB)(AC).,8, A C B D AB CD,证明：任取 AB xA yB xC yD CD,注意：AC BD是否推出 A B C D ？ 不一定！ 反例如下： A=1，B=2, C=D=,9,10,一、二元关系的定

3、义,11,如果一个集合满足以下条件之一： (1)集合非空, 且它的元素都是有序对； (2)集合是空集， 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R。如果R, 可记作 xRy；如果R, 则记作x y。,如：R=, S=,a,b. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.,1. 二元关系,12,2. 从A到B的二元关系,设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，当A=B时则叫做 A上的二元关系。,如：A=0,1, B=1,2,3, R1=, R2=AB, R3=, R4=. 那么 R1， R2，

4、R3， R4是从 A 到 B的二元关系，R3和R4同时也是 A上的二元关系。,|A|=n, |B|=m ，|AB|=nm，从A到B的二元关系有2nm个，A上的二元关系有 个。,13,3. A上的某些特殊二元关系, 空关系：对于任何集合A ，是A A的子集， 叫做A上的空关系。 全域关系EA ：EA=|xAyA=AA 恒等关系IA：IA=|xA,如，A=1,2，则 EA=, IA=,14,4. A上的某些常用二元关系, 小于等于关系 LA： LA=| x,yAxy，AR， 整除关系DB：DB=| x,yBx整除y， BZ*, Z*为非0整数集。 包含关系R： R=| x,yAxy, A是集合族。

5、 类似的还可以定义大于等于关系，小于关系，大于关系, 真包含关系等等。,15,如：A = 1, 2, 3, B =a, b, 则 LA=, DA=,A=P(B)=,a,b,a,b, 则 A上的包含关系 R=, , ,16,二、二元关系的表示法,17,1. 集合表示法,例：设A=1,2,3,4， R=| x/y是素数是A上的关系，用列举法表示R。 解：R=,18,2. 关系矩阵,注意：A的元素个数确定行数； B的元素个数确定列数。 若R为A上的关系，则关系矩阵为n阶方阵。,19,3. 关系图 设A=a1, a2, , an，B=b1, b2, , bm，R是从A到B的一个二元关系，则对应关系R的

6、关系图是GR=，其中V为结点集，R为边集。如果属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边。,注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系。,20,例：A=1,2,3,4, R=,R的关系矩阵MR和关系图GR如下：,21,22,一、关系的集合运算,根据关系的定义知，关系就是集合，所以在第6章中所给出的集合的运算对于关系也适用。,设R和S是集合A到B的关系，则关系的并、交、相对补、绝对补、对称差运算为RS 、 RS、 RS、 R(S)、 RS。,注意： 1. A到B的全域关系为AB，它就是讨论 集合时的全集。 2. 若R和S是集合A上的

7、关系，则其运算后 仍是A上的关系；,返回,23,二、关系的基本运算,返回,24,1. 定义域、值域 和域,定义域domR = x | y (R) 值域ranR = y | x (R) 域fldR = domR ranR,例：R=, 则 domR=1, 2, 4 ranR=2, 3, 4 fldR=1, 2, 3, 4,25,2. 关系的逆运算,设R为二元关系，R1 称为R的逆关系。 R AB ，R 1 BA。 R1 = | R,例：设A=1,2,3,4 R=, , , R1=, , , ,26,注意： 1. 对任意关系R，都存在R1 。( -1=) 2. R和R1是建立在不同集合上的(A上的关

8、系除外) 。 3. 将R的关系图上所有弧线改变方向，就得到R1的关系图； R1的关系矩阵MR-1就是MR的转置矩阵(行列颠倒)。,27,3. 右复合,理解：x是t的母亲，t是y的妻子； x是t的父亲，t是y的父亲。FG = | t ( F G) ,例：设F=, , G= ，则 FG = GF =,28,注意： 1. 不是任意两个关系都求复合的， FAB , GBC , FG 才有意义； 2. 若F AB , G BA , FG、GF 都有意义；若F、G是A上的关系，则 FG、GF都有意义； 3. 即使FG、GF都有意义，也不能保 证FG=GF ；,29,例： A=0,1,2,3 , A上的关系

9、F，G定义如下，计算F G、G F。 F= | x, yA , y=x+1或y=x/2 G= | x, yA , x=y+2 解： F= , , , , G= , F G=, G F=,注意：求两个关系复合的时候，要注意它们 的顺序。,30,复合运算的图示方法,利用图示（不是关系图）方法求复合。 R=, , , S=, , , , RS = , , , SR =, , ,31,4. 限制与像,设R为二元关系，A是集合R在A上的限制，记作R A R A = | xRy xA(2) A 在R下的像记作RA = ran(RA),例：R=, , , R1=, R1=2,4 R= R1,2=2,3,4,

10、注意：R AR, RA ranR,红色是限制条件，在R中寻找满足条件的元素。“限制”是有序对的集合。,32,运算顺序,本节所定义的关系运算中逆运算优先于其他运算，而所有的关系运算都优先于集合运算，对于没有规定优先权的运算以括号决定运算顺序。,返回,33,三、基本运算的性质（定理7.1-7.5）,定理7.1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF证： (1) 任取, 由逆的定义有 (F 1)1 F1 F所以有 (F1)1=F (2) 任取x, xdomF1 y(F1) y(F) xranF 所以有domF1= ranF. 同理可证 r

11、anF1 = domF.,34,定理7.2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (FG)H=F(GH) (2) (FG)1= G1F1 证： (1) 任取, (FG)H t(FG H) t (s (FG) H) t s (F GH) s (Ft (GH) s (FGH) F(GH) 所以 (FG)H = F(GH),35,(2) 任取, (FG)1 FG t ( F (t,x) G) t ( G1 (t,y) F1) G1F1 所以 (FG)1 = G1F1,36,定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA=IAR=R,定理7.4 设F、G、 H为任意的关系，则： (1) F (G H

12、 ) =F G FH (2) (G H ) F = G F HF (复合运算对运算满足分配律） (3) F (G H ) F G F H (4) (G H ) F G F H F (复合运算对 运算分配后是包含关系）,37,定理7.5 设F为关系，A、B为集合，则： (1) F (A B)= F A F B (2) FA B= FA F B (3) F (A B)= F A F B (4) FA B FA F B,返回,38,四、关系的方幂运算,在右复合运算的基础上定义关系的幂运算。,按定义直接求解；关系矩阵；关系图。,39,1. 定义,设R为A上的关系， n为自然数， 则 R 的 n次幂定义

13、为： (1) R0= | xA =IA (2) Rn+1 = RnR,注意： 1. 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA； 2. 对于A上的任何关系 R 都有R1 = R 。,40,2. 求法,R0=IA ，R1 = R，n2时, 按定义直接求解 如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次右复合计算得到Rn 关系矩阵 Rn的关系矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。,41, 关系图 第一步：画出R的关系图(R1)； 第二步：从R的每一结点出发，如果能经过n段有向弧止于某一结点，则从始点到终点画一条有向弧； 若结点有自环，则从该结点出发后，经过1、2、3段有向弧，均能回到该结

14、点自身。,42,例：设A=a,b,c,d, R=, 求R的各次幂, 分别用关系矩阵和关系图表示。 解： R与R2的关系矩阵分别为,43,同理，R0=IA， R3和R4的矩阵分别是：因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=, R3=R5=R7=,注意：对于有穷集A，A上关系R的不同幂只 有有限个。,44,R0，R1，R2，R3的关系图如下图所示：,45,3.性质,定理7.6 设A为n元集，R是A上的关系, 则存 在自然数 s 和 t，使得 Rs = Rt。定理7.7 设 R 是 A 上的关系, m, nN, 则 (1) RmRn=Rm+n（第一指数律） (2) (Rm)

15、n=Rmn （第二指数律）,46,47,一、自反性与反自反性,定义 设R为A上的关系,(1) 若x(xAR), 则称R在A上是 自反的。 (2) 若x(xAR), 则称R在A上是 反自反的。,48,注意： 1. 在集合A上的自反关系R中，A的每一个元素x都与它自身有关系R；任一有序对R，xy是允许的，但必须包括对任一元素xA，有R； 2. 在反自反关系中，不能有任何一个相同元素x组成的有序对，即 R。,49,自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA ， 小于等于关系LA, 整除关系DA， 幂集P(A)上的包含关系。反自反关系：实数集上的小于关系， 幂集P(A)上的真包含关系， 空集上的关系

16、只有空关系一个，既是自反的，又是反自反的。,50,例：A=1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1, R2, R3,R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的。,此例说明：任一二元关系，仅为自反的，反自反的，既不是自反的又不是反自反的，三者之一。,51,2. 定理（定理7.9） 设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 RIA=,52,二、对称性与反对称性,定义 设R为A上的关系,(1) 若xy(x,yARR), 则称R为A上对称的关系。 (2)若xy(x,yARRx=y), 则称R为A上的反对称关系。,53

17、,注意： 1. 在A上的对称关系R中，若A中元素x与 y有关系R时，则y与x也一定有关系R； 2. 在反对称关系R中，若xy，则 R与R不能同时存在 。,对称关系：A上的全域关系EA 恒等关系IA 空关系。反对称关系：恒等关系IA，空关系。,54,例：设A1,2,3, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, R1,， R2, R3,， R4,R1 对称、反对称。 R2 对称，不反对称。R3 反对称，不对称。 R4 不对称、也不反对称。,55,2. 定理 设R为A上的关系, 则 (1) R在A上对称当且仅当 R=R1 (2) R在A上反对称当且仅当 RR1IA R在对称的又是反对称当且仅当

18、RIA,56,三、传递性,定义 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,zAR RR), 则称R是A上的传递关系。,57,例：设A1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R1, R2, R3,R1 和 R3 是A上的传递关系， R2不是A上的传递关系。,A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系，小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系都是传递关系。,58,2. 定理 设R为A上的关系, 则 (1) R在A上传递当且仅当 R RR,返回,59,四、关系性质的判别,60,例：判断下图中关系的性质，并说明理由。,(2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的。

19、,(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递。,(3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递。,返回,61,五、关系性质的证明,自反性证明模式：证明R在A上自反 任取x, xA . R 前提 推理过程 结论,例：证明若 IA R ，则 R在A上自反。证： 任取x, xA IA R 因此 R 在 A 上是自反的。,62,对称性证明模式 ：证明R在A上对称 任取 R . R 前提 推理过程 结论,例：证明若 R=R1 , 则R在A上对称。证：任取 R R 1 R 因此 R 在 A 上是对称的。,63,反对称性证明模式：证明R在A上反对称 任取 RR . x=y 前提 推理过程 结论,例：证

20、明若 RR1IA , 则R在A上反对称。 证：任取 R R R R 1 RR 1 IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的。,64,传递性证明模式：证明R在A上传递 任取， RR . R 前提 推理过程 结论,例：证明若 RRR , 则R在A上传递。 证：任取， R R R R R 因此 R 在 A 上是传递的。,65,六、关系的运算与性质的关系,66,67,关系的闭包运算，是一种比较特殊而有用的运算，它采用对已知关系扩充一些有序对的办法，从而得到具有某种性质的新关系。 闭包：包含一些给定对象，具有指定性质的最小集合。,68,一、关系的闭包概念,设R是非空集合A上的关系，R的自反(对称或传

21、递)闭包是A上的关系R，使得R满足以下条件：(1) R是自反的（对称的或传递的）(2) RR(3) 对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系 R 有 RR。 一般将 R 的自反闭包记作 r(R) ，对称闭包记作 s(R) ，传递闭包记作 t(R) 。,69,例：设集合A=a,b,c，A上的关系 R=,，则 r(R)= s(R)= t(R)=, ，,，,，,返回,70,二、闭包的构造方法,71,1. 集合表达式法 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = RR0= RIA (2) s(R) = RR1(3) t(R) = RR2R3,注意： 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系，(3)

22、中的并是有限的(书P119推论)。,72,2. 关系矩阵,设关系R，r(R) ， s(R) ， t(R)的关系矩阵分别为M，Mr，Ms 和 Mt ，则 Mr = M + E Ms = M + M Mt = M + M2 + M3 + ,注意： 1. E 是和 M 同阶的单位矩阵，M是 M 的转置矩阵。 2. 在上述等式中矩阵的元素相加时使用 逻辑加。,73,3. 关系图,设关系R，r(R) ， s(R) ， t(R)的关系图分别记为G，Gr， Gs， Gt ， 则Gr，Gs，Gt 的顶点集与G 的顶点集相等。除了G 的边以外，依下述方法添加新边：,74, 考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个

23、环，最终得到Gr。 考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边，ij, 则在G中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs。 考察G的每个顶点 xi，找从 xi 出发的每一条路径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上这条边。当检查完所有的顶点后就得到图Gt 。,75,例：设A=a,b,c,d， R=,， R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示。,R,r(R),s(R),t(R),返回,76,三、闭包的性质,1. 定理7.11 设R是非空集合A上的关系，则 (1) R是自反的当且仅当r(R)=R； (2) R是对称的当且仅当s(R)=R; (3

24、) R是传递的当且仅当t(R)=R。2. 定理7.12 设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1R2，则 (1) r(R1) r(R2) (2) s(R1) s(R2) (3) t(R1) t(R2),77,3. 定理7.13 设R是非空集合A上的关系， (1) 若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的； (2) 若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的； (3) 若R是传递的，则r(R)是传递的。,返回,78,四、多重闭包,注意： 对于多重闭包，规定从右至左依次进行运算，注意顺序。,tsr(R) =t(s(r(R),返回,79,等价关系在数学上是分类用的。我们从小就开始使用的最简单、

25、最常用的等价关系就是数的“相等”关系。,80,一、等价关系（定义7.15）,设 R 为非空集合A上的关系，如果 R 是自反的、对称的和传递的，则称 R 为 A 上的等价关系。设 R 是一个等价关系，若R，称 x 等价于y，记做 xy。,判断： 恒等关系IA与全域关系EA 数的“大于等于”关系； 集合之间的“包含”关系； 人与人之间的“同学”、“同姓”、“同年龄”、“同性别”关系。,81,验证模 3 相等关系 R 为 A上的等价关系，因为 xA，有x x(mod 3) x, yA，若 x y(mod 3)，则有 y x(mod 3) x, y, zA, 若x y(mod 3)，y z(mod 3

26、)， 则有 xz(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证。,例：设 A=1,2,8，如下定义A上的关系 R： R = | x,yAxy(mod 3) 其中 xy(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等，即 x 除以3的余数与 y 除以3的余数相等。,82,设 A=1,2,8, R= | x,yAxy(mod 3) R的关系图如下图所示。,关系图被分为三个互不连通的部分，每部分中的数两两都有关系，不同部分中的数则没有关系，每一部分中的所有顶点构成一个等价类。,返回,83,二、等价类,84,设R为非空集合A上的等价关系，xA，令xR = y | yAxRy ，称 xR 为 x 关于R 的等价

27、类，简称为 x 的等价类，简记为x。,A= 1, 2, , 8 上模 3 等价关系的等价类： 1=4=7=1,4,7 2=5=8=2,5,8 3=6=3,6,1. 定义(定义7.16),注意： x 的等价类就是所有与x有等价关系R 的元素组成的集合。它一定是A的子集。,85,例：设A=a,b,c， R=,， R是A上的等价关系，求A中各元素所在的等价类。,解： aR=a bR=b,c cR=b,c,86,2. 等价类的性质,定理7.14 设R是非空集合A上的等价关系，则 (1) xA，x 是A的非空子集。 (2) x, yA，如果 x R y，则 x=y。 (3) x, yA，如果 x y，则

28、 x与y不交。 (4) x | xA=A，即所有等价类的并集就 是A。,87,3. 商集,设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，A/R = xR | xA 。,例：A=1,2,8， A关于模3等价关系R的商集为： A/R = 1,4,7, 2,5,8, 3,6 A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = 1,2, ,8 A/EA = 1, 2, ,8 ,返回,88,三、集合的划分,举重比赛时，需要将运动员按重量级别来进行分类，每个运动员必定属于某一级别，而任何运动员不能同时属于两个不同的重量级别。,89,1. 定义 (定义7.18),

29、注意：“划分”的概念和“等价关系”的概 念本质上是一样的。,设A为非空集合，若A的子集族(P(A) 满足下面条件： (1) (2) xy (x,yxyxy=) (3) =A 则称是A的一个划分，称中的元素为A的划分块。,90,例：设Aa, b, c, d, 给定1 6如下： 1= a, b, c, d ， 2= a, b, c, d 3= a, a, b, c, d , 4= a, b, c 5= ,a, b, c, d , 6= a, a, b, c, d ,解：1和2 是A的划分，其他都不是 A 的划分。,91,2. 等价关系与划分的一一对应,商集 A/R 就是 A 的一个划分； 不同的商

30、集对应于不同的划分； 任给 A 的一个划分, 如下定义 A 上的关系 R： R = | x,yAx 与 y 在的同一划分块中，则 R 为 A上的等价关系，且该等价关系确定的商集就是。,92,R3=,IA,例：给出A1,2,3上所有的等价关系。求解思路：先做出A的所有划分，然后根据划分写出对应的等价关系。,R4=全域关系 EA,R5=恒等关系 IA,R1=,IA,R2=,IA,93,例：设 A=1, 2, 3, 4，在 AA上定义二元关 系R：,R x+y = u+v， 求 R 导出的划分。,解：AA=, , , , , , , , , , , , , , ,94,根据 的 x + y = 2,

31、3,4,5,6,7,8 将AA划分成7个等价类： (AA)/R= , , , , , , , , , , , , , , ,返回,95,96,在解决实际问题时，常依据某个标准对事物进行比较，同时按这个标准对两个事物之间的先后进行排序。在计算机科学中，对数据进行排序是十分有意义的。 偏序关系是最基本、最常用的一种序关系，它本质上是两实数之间的“小于等于”关系的一种推广。,97,一、偏序关系,98,1. 定义(定义7.19),非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作。设为偏序关系，如果，则记作 xy，读作 x“小于等于”y。,集合A上的恒等关系 IA 和空关系是A上的偏序关

32、系。 小于等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系。,注意：这里的“小于等于”不是指数的大小，而是指在偏序关系中的顺序性。,99,2. x与 y 可比： 设R为非空集合A上的偏序关系, x,yA, x与y可比 xy yx.,结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况： xy (或yx), xy, x与y不是可比的。,100,3. 全序关系(定义7.21)：,R为非空集合A上的偏序, 如果x,yA, x与 y 都是可比的，则称 R 为全序关系。,例：数集上的小于等于关系是全序关系； 整除关系不是正整数集合上的全序关系。,101,二、偏序集与哈斯图,102,集合A和A上的偏序关系一起

33、叫做偏序集, 记作 。,例： 1. 整数集和整数的小于等于关系构成偏序 集， 2. 集合A的幂集P(A)和包含关系R构成偏 序集.,1. 偏序集,103,2. 覆盖,例： 1, 2, 4, 6 集合上的整除关系, 2 覆盖 1, 4 和 6 覆盖 2， 4 不覆盖 1， 6 不覆盖 4。,设为偏序集, x, yA, 如果 x y且不存在 zA 使得 x z y, 则称 y 覆盖x。,104,3. 哈斯图 由于偏序关系本身具备的特性，在用关系图来描述偏序关系且不引起混乱时，可以将其中的一些显然的因素略去不管。 利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图。,注意：在哈斯图中，每个结点没有环；两个连通

34、的结点之间的偏序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边。,105,例7.19 画出下列偏序关系的哈斯图。 ,106,A=a, b, c, d, e, f, g, h R=,IA,例7.20： 已知偏序集的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系R的表达式.,107,三、偏序集的特殊元素,在偏序集中，设BA，对于A中的偏序而言，B中处于某些特殊位置的元素是很重要的。,注意：建议在理解这些元素时，将偏序当作 “小于等于”。,108,定义7.24 设为偏序集, BA, yB.(1) 若x(xByx) 成立, 则称 y 为 B 的最小元。(2) 若x(xBxy

35、) 成立, 则称 y 为 B 的最大元。 (3) 若x (xBx y) 成立, 则称 y 为B的极小元。(4) 若x (xBy x) 成立, 则称 y 为B的极大元。,109,例：设偏序集如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元。,极小元：a, b, c, g；极大元：a, f, h；没有最小元与最大元。,110,注意： 有穷偏序集一定存在极小元和极大元，可 能存在多个； 不一定存在最小元和最大元，如果存在一 定惟一； 最小元一定是极小元，最大元一定是极大 元； 孤立结点既是极小元，也是极大元。,111,2. 定义7.25 设为偏序集, BA, yA. (1) 若x(xBxy) 成

36、立, 则称 y 为B的上界。 (2) 若x(xByx) 成立, 则称 y 为B的下界。 (3) 令Cy | y为B的上界, 则称C的最小元为B的最小上界 或 上确界。 (4) 令Dy | y为B的下界, 则称D的最大元为B的最大下界 或 下确界。,112,例：设偏序集如下图所示， 设 Bb,c,d, 求 B 的下界、上界、最大 下界、最小上界。,B的下界和最大下界都不存在, 上界有d 和 f, 最小上界为 d。,113,注意： 下界、上界、最大下界、最小上界不一定 存在； 下界、上界存在不一定惟一； 最大下界、最小上界如果存在，则惟一； 集合的最小元就是它的最大下界，最大元 就是它的最小上界；反之不对。,