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1、,数 学 史,主 讲 人张跃辉,10、痛苦的分娩几何学的革命,关于第五公设的思考 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 非欧几何学 黎曼对非欧几何的贡献,18世纪由于微分方程、变分法一些新数学分支的出现，形成分析、几何、代数这三大数学学科，而在这一世纪中分析领域远远超过了几何、代数。虽然分析的光芒使18世纪综合几何黯然失色，但分析的方法应用却开拓出了一个崭新的分支微分几何。,平面曲线理论17世纪基本完成,微分几何,惠更斯(荷, 1629-1695),1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线,洛比塔(法, 1661-1704),1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径
2、 1691年和1692年约翰伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的无穷小分析完成并传播了平面曲线理论,18世纪的空间曲线、曲面理论,微分几何,克莱罗(法, 1713-1765),1697年约翰伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)关于双重曲率曲线的研究：弧长、曲率,微分几何,1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 关于曲面上曲线的研究：曲率、绕率，建立了曲面理论,蒙日(法, 1746-1818),1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)
3、关于可展曲面与直纹面 1795年蒙日(法, 1746-1818) 关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究,蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西,欧几里得几何,欧氏几何及其平行公设公设一：过不同两点可连一直线公设二：直线可无限地延长公设三：以任意一点为中心和任一线段之长为半径可作一圆公设四：所有直角均相等公设五：一平面上两条直线被另一直线所截
4、，若截线一侧的两内角和小于两个直角，则此二直线必在这一侧相交,平行公理的研究(公元前3世纪至1800年),10.1 关于第五公设的思考,欧几里得,几何原本共48条命题，只有证明第29条命题时唯一应用了第五公设,从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功 第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊数学家托勒密，他依赖如下假设：“过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行.”（普莱菲尔公设， 17
5、95年以后的几何原本版本）中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也曾尝试过对第五公设的证明,10.1 关于第五公设的思考,普莱菲尔J. Playfair，(苏格兰, 1748-1819),勒让德(法, 1752-1833),勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832),直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学
6、严格性的典范始终保持着神圣的地位。,欧几里得平行公设 ？,1733年萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击,19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412485年，雅典柏拉图学园晚期的导师，在450年左右给欧几里得原本卷1作注)、萨凯里(意， Saccheri，16671733)、克吕格尔(德, Klgel，1739-1812) 、兰伯特（德，Lambert,17281777） 、普莱菲尔(苏格兰，Playfair，17481819) 、勒让德(法, 1752-1833) 、施魏卡特（普鲁士，Schwcikart，1780-1959）和托里
7、努斯（普鲁士，Taurinus，1794-1874）等等 代表人物：萨凯里、兰伯特,1733年，萨凯里（意大利，Saccheri，16671733）：欧几里得无懈可击,萨凯里四边形,锐角？直角？钝角？,钝角时很快引出矛盾。但当锐角时，却得出了许多有趣的推论：三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两条直线将在无限远点有共同的垂线；等等,萨凯里的工作,萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。萨凯里的错误在于把有限图形的性质扩大到无
8、限图形，以为在有限远处不成立的东西在无限远处也不成立。萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确，以至于走到伟大发现的门前而却步,克吕格尔的工作,1763年, 克吕格尔 在其博士论文中指出：(1)公理的实质在于经验，而并非不证自明，人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，他只得到似乎异于经验的结果。,克吕格尔(德, Klgel，1739-1812) 是第一个对“平行公设能由其他公设推出”表示怀疑的数学家。,兰伯特的
9、工作,兰伯特（德，Lambert,17281777）受克吕格尔的见解启发对平行公设进行了更加深入的探讨。认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。,兰伯特（德，17281777）,1766年，兰伯特:平行线理论,兰伯特四边形,锐角？直角？钝角？,钝角假设很快引出矛盾，发现结论恰好与球面上图形的相应性质一样，由此猜想由锐角假设得出的定理可以于虚半球面的图形兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何兰伯特实际上为非欧几何的诞生奠定了基础，但他缺乏理论勇气，在即将打开非欧几何大门时退却了,施魏卡特（普鲁士，Schwcikar
10、t，1780-1959）1816年写了一份备忘录，认为应该承认存在着两类几何：欧氏几何与假设三角形内角之和不足两直角的几何（他称其为星空几何）在施魏卡特的指导下，外甥托里努斯（Taurinus，1794-1874）继续研究星空几何，得到只有欧氏几何对物质空间是正确的，而星空几何只是逻辑上相容施魏卡特和托里努斯都踏进了非欧几何的大门，但由于他们不能对这种几何的广阔前景和现实应用作出合理的联想，在无人支持的困境中，放弃了对星空几何的研究，最终半途而废,10.2 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作,非欧几何的诞生，有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的下一步. 而决定性的一步，应归功于高斯、
11、波尔约和罗巴切夫斯基三人,1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几里得几何,1832年J波尔约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学,1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明,10.2 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作,高斯（C.F.Gauss,1777-1855），德国数学家、物理学家和天文学家 出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。 在成长过程中，幼年的高斯主要依靠母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich） 罗捷雅希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中7岁
12、上学。1787年高斯10岁数学，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner）,据对高斯素有研究的著名数学史家贝尔（T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题： 81297+81495+81693+100899 布特纳“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，一起学习，互相帮助，由此开始了真正的数学研究 1788年，11岁的高斯进入了文科学校，功课都极好，古典文学、数学尤为突出经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯，提出作高斯的资助人,1792年，高斯进
13、入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥廷根大学1799年完成了博士论文，获得讲师职位，但未能成功地吸引学生，不得不回到老家，又是公爵伸手救援他，送给他一幢公寓，负担了高斯的所有生活费用 。高斯十分感动，他在博士论文和算术研究中，写下了情真意切的献词：“献给大公”，“你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究”。,1806年，布伦兹维克公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。这一切使得高斯有些心灰意冷，从不向他人透露自己的窘况。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学
14、手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：对我来说，死去也比这样的生活更好受些。 由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国,为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.Von Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位1807年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一
15、直住在哥廷根。舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件,高斯有“数学王子”、“数学家之王”的美称、被认为是人类有史以来“最伟大的四位数学家之一”（阿基米德、牛顿、欧拉和高斯）。人们还称赞高斯是“人类的骄傲，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师 把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯,C. F. Gauss, 1777-1855,高斯（Gauss, 1777-1855）在15岁时已清楚存在一种欧氏平行公设不成立的逻辑
16、几何. 1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯。一向谨小慎微，不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说,1824年高斯回答托里努斯的信中说：“三角形内角和小于两直角，这个假设引导到特殊的与我们的几何完全不同的几何，这个几何完全是一贯的，并且我发现它本身完全令人满意.”高斯不仅深信新几何在逻辑上的相容性，而且还确认它具有可应用性（实际测量三个山峰构成的三角形，发现内角和多了15）. 可惜他并没有发表这一开创性的见解，主要原因有
17、二：其一，“怕黄蜂围绕耳朵乱飞”，怕惹麻烦，受人嘲笑；其二，过于谨慎，“问题在思想上没有弄清之前决不动笔”，只有无懈可击时才肯发表,当知道儿子约翰.波尔约对第五公设问题着了迷，赶紧写信劝阻：“希望你放弃这个问题.对这样一个问题的害怕应该更多于感情上的迷恋，它会剥夺你生活中的一切：时间、健康、休息和幸福.”,W. Bolyai，1775-1856,高斯的大学同学、匈牙利人W.波尔约（W. Bolyai，1775-1856 ），曾经从事第五公设的证明，对此没作出成就，自认浪费了时间,1820年W波尔约: “我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无底洞的
18、黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”,1823年11月23日， W.波尔约接到儿子约翰的来信：“我已从乌有中创造了整个世界.”1832年W.波尔约把儿子的论文关于一个与欧几里得平行公设无关空间的绝对真实性的学说，做为自己几何著作的附录出版，并请高斯评价高斯回信说：“.称赞他等于称赞我自己.你儿子所采用的方法和他所达到的结果几乎全部和我在30年前已开始的个人深思相符合。.我自己的著作，虽然写好的仅是一小部分，我本来永远不愿意发表，.现在有了老友的儿子能够把它写下来，免得它与我一同湮没，那是我最高兴的了.”,J. Bolyai，匈牙利1802-1860,高斯的回信使约翰.波尔
19、约感到沮丧，他不相信有人在他之前已做了同样的工作，并认为高斯剽窃了自己的成果. 当他第一次看到罗巴切夫斯基1835年的著作时，也以为那是抄自他1832年出版的附录这一切都使年轻气盛的数学天才约翰.波尔约对整个数学界非常失望，因此而抛弃了自己心爱的数学研究，转而研究神学去了,波尔约(罗马尼亚, 1960),波尔约父子之墓,罗巴切夫斯基的贡献,罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教授、校长1815年着手研究平行线理论，试图给出平行公设的证明1823年冷静地把“怪胎”看成世人罕见的“奇异果实”1855年以口述方式（双目失明）写下遗著泛几何学，给了全新说明直至罗巴切夫斯基去世的30年内，
20、没能赢得社会的承认和赞美,罗巴切夫斯基（俄国）Nikolai Lobachevski （1792-1856）,1829年发表了题为几何学原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文刊登在喀山通报杂志上而未引起数学界的注意。,1826年2月12日在喀山大学发表了关于几何原本的扼要叙述及平行线定理的一个严格证明的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现,罗巴切夫斯基(苏联, 1951),罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波尔约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言： 通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。作为替代第五公设，由此出发进行逻辑推导而得出
21、一连串新几何学的定理罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学-非欧几里得几何学。欧氏几何在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例没有找到这种几何的实际应用，所以取名为“虚几何学”或“想象几何学”，后又改为“泛几何”,在冷漠中宣告新几何诞生,1826年2月12日，罗巴切夫斯基在喀山大学学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角形的内角和小
22、于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等离奇古怪、离经叛道、异端邪说疑惑、惊呆 、冷漠,1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院审评“看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作。他达到自己的目的。” ，“由此我得出结论，罗巴切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。” “荒唐的笑话”，是“对真正数学家的嘲讽”,权威的讥讽,这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上反动势力的敌对叫嚣，以匿名CC在祖国之子杂志上撰文，公开指名对罗巴切夫斯基进行人身攻击。匿名者在题为评罗巴切夫斯基的著作“
23、几何学原理”一文中写道：“甚至难以理解，罗巴切夫斯基先生是如何用数学中最简明的几何学，建立起晦涩的、不可思议和神秘莫测的学说的。”文中嘲弄道：“为什么不能把黑的想象成白的，把圆的想象成方的？”针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基撰写了反驳文章，但祖国之子杂志却以维护杂志声誉为由，一直不予发表,匿名者的攻击,祖国之子杂志刊登攻击科学家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景的。原来这家杂志的把持者布尔加林和格列奇同沙皇秘密政治组织“第三厅”有着联系，他们靠“第三厅”的资助维持杂志，并且充当帮凶，专门监视和打击先进的思想家和具有革命倾向的科学家。明显表现有无神论和唯物主义倾向的喀山大学校长罗巴切
24、夫斯基，自然要被他们列为危险对象加以监视。借歪曲、诋毁科学新成果，来压制、打击具有进步思想的科学家，是一切保守势力的惯用伎俩。,罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫斯基（18041889）还对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性英国著名数学家莫尔甘（Morgan，18061871）对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代
25、表了当时学术界对非欧几何的普遍态度,在孤境中奋斗终生,晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制，而且在工作上还受到限制1846年人民教育部免去了他在喀山大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击临去世的前一年，在身患重病，卧床不起，双目失明的困境下，口授他的学生完成最后一部巨著泛几何学1856年2月12日，伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中离开了人世。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍
26、认为非欧几何纯属“无稽之谈”。,罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，从未动摇过，坚信终会有一天“可以像别的物理规律一样用实验的方法来检验”在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者高斯也不肯公开支持他高斯凭借在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的承认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了勇气高斯的沉默和软弱表现，不仅严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度，而且客观上助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击,高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作平行线理论的几何研究后，内心是矛盾的高斯私
27、下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作高斯却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关研究，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究加以公开评论高斯积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献创立非欧几何却避而不谈,历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家倍尔特拉米（Beltrami，18351899）发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可以在欧几里得空间的
28、曲面（例如拟球曲面）上实现这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被誉为“几何学中的哥白尼”,通常所说的非欧几何学，主要指双曲几何学和椭圆几何学双曲几何学是用双曲平行公理：“过直线a外一点A，至少有两条直线与a不相交.”代替欧氏的第五公设，就可以得到双曲几何的一批结论（双曲平行公理的等价命题）：,10.3 非欧几何学,
29、1、在平面内，对于一条直线，存在不相交的垂线和斜线2、存在一个三角形，它没有外接圆3、存在一个三角形，它的三条高不相交4、三角形的内角和小于两直角5、三角形的内角和不是常数6、不存在矩形7、平面上不在书籍直线上且与此直线等距离的三个点，不在同一直线上8、在同一平面上的任何两条直线，一条直线上的点到另一条直线上的距离是无界的9、如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等（所以不存在相似形）,模型与相容性,1868年倍尔特拉米(意, Beltrami，1835-1899),曳物线,拟球面由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得,倍尔特拉米的模型： “拟球面”罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当
30、的“拟球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义缺点：具有片面性。还没有解决全部罗巴切夫斯基几何的无矛盾性问题,克莱因的几何模型：在普通欧几里得平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部。他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（端点除外，生成的射影平面）这种圆内部的普通几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实。,克莱因圆,1870年克莱因(德, 1849-1925)在射影空间中实现了双曲几何的公理系统,庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧几里得模型。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实
31、性。因为我们可以设想，如果罗巴切夫斯基几何中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾也必然会在欧几里得几何中表现出来，也就是说，只要欧几里得几何没有矛盾，那么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾。至此，解决了双曲几何的公理的相容性。非欧几何作为一种几何的合法地位才充分建立起来。,1882年庞加莱(法, 1854-1912)在欧氏空间是实现了双曲几何,庞加莱法, Poincare，1854-1912,1854年，黎曼发表论文关于几何基础的假设,B. Riemann, 1826-1866,发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何
32、的特例。黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。,10.3 黎曼对非欧几何的贡献,1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学,黎曼(德, 1826-1866),“
33、 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”,在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。,内蕴几何，流形曲率,1854年黎曼(德, 1826-1866)关于几何基础的假设,在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都
34、认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设。但黎曼区分了“无限”与“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，只不过是说，它是无端的或无界的。 在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何。这第二种非欧几何，也叫（正常曲率曲面上的）黎曼几何,作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基发现的非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何。普通球面上的几何就是黎曼几何，其上的每个大圆可以看成是一条“直线”，容易看出，任意球面“直线”都不可能永不相交 黎曼是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧
35、几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性,三种几何,平面 双曲 (马鞍） 椭圆 （球）,1条平行线 许多平行线 没有平行线,= 180 180,平面宇宙 开放宇宙 封闭宇宙,在20世纪初相对论的创立过程中，数学就建有奇功1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski,18641909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论,相对论与非欧几何,Einstein 18791955,1912年夏爱因斯坦已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数
36、学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变(即所谓协变)爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M. Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具,在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出广义协变的引力方程 （ 是黎曼度规张量） 爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了, 而这个金顶依靠的恰恰是数学,在回顾这段历史时，爱因斯坦
37、坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是一个大科学家的深切体会。,根据爱因斯坦的引力场方程从数学上推导出来的结论，有一些后来被实验证实了，例如光线在引力场中的弯曲行为(1919年一次日全食过程中观察到的星光弯曲曾轰动世界)按照爱因斯坦理论空间是弯曲的，空间的形式是靠度规张量来描述的，一旦知道了空间的物质分布，从理论上就可解出这些度规张量，这个空间的形式也就知道了,星光弯曲,按照微分几何学，一般情况下解出的空间曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空间有弯曲，但是空间弯
38、曲的理论在爱因斯坦以前数学家们就已经创造出来了，那就是在19世纪初叶高斯和罗巴切夫斯基、波尔约等人创立并经黎曼等人发展的非欧几何学当时，高斯曾称这种几何为“星空几何”，罗巴切夫斯基也坚信自己发现的新几何总有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”爱因斯坦的广义相对论恰恰揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最精彩的例子之一,爱因斯坦的广义相对论后来又有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并据而发展宇宙大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇
39、宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣,霍金于2002年国际数学家大会期间讲解他的宇宙理论,非欧几何产生的意义,一、随着非欧几何的产生，引起了数学家们对几何基础的研究，解决了平行公理的独立性问题。从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的重要标志,二、非欧几何的产生，引起一些重要数学分支的产生。数学家们围绕着几何的基础问题、几何的真实性（应用可靠性）问题的讨论，在完善数学基础的过程中，相继出现了一些新的数学分支，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪
40、30年代建立自己的公理体系，公理化方法获得进一步完善,三、非欧几何实际上预示了相对论的产生，非欧几何与相对论的汇合是科学史上划时代的事件。非欧几何的创立，为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而相对论给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。动钟延缓、动尺缩短、时空弯曲等现象都是非欧几何与相对论的科学发现,四、非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期非欧几何的创立，冲破传统观念并破除千百年来的思想习惯，对数学的绝对真理观点刮来一场风暴，给康德的唯心主义哲学以有力一击，使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。用康
41、托尔的话说：“数学本质在于其自由”,本章作业,P167 （3）,谢谢！,非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义三维、平直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧化”运动：从三维到高维，从平直到弯曲而射影几何的发展又从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例,蒙日(法国, 1953),1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的位置几何学,卡尔诺(法国, 1950),1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学,射影几何,早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661),
42、 帕斯卡(法, 1623-1662),综合方法,对偶原理,1822年庞斯列(法, 1788-1867)的论图形的射影性质,射影几何,庞斯列J-V. Poncelet1788-1867,代数方法,射影几何,在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯和普吕克开创了射影几何研究的解析（或代数）途径。,麦比乌斯带,1847年，斯陶特出版位置几何学，提出方案，通过给每个点适当配定一个识别标记（也称坐标）来避免射影几何学对于长度概念的依赖，使之摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科,K.G.C. von Staudt, 1798-1867,斯陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上
43、要先于欧几里得几何概念，因而射影几何比欧几里得几何更基本。斯陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（A. Cayley, 1821-1895）和普吕克的学生克莱因（F. Klein, 1849-1925）进一步在射影几何概念基础上建立欧几里得几何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧几里得几何与非欧几何都是射影几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学辅平了道路。,射影几何,凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何,凯莱(英, 1821-1895),基本问题：图形在投射和截影下保持不变的性质,连续性原理 它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变
44、性。庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形,对偶原理 射影几何的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它所涉及的定理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理,几何学的变革所产生的一个“最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的理解”. 历史学家通过数学这面镜子，不仅看到了数学的成就与应用，也看到了数学的发展如何教育人们去进行抽象的推理，发扬理性主义的探索精神，激发人们对理想和美的追求.,思考题,1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。2、非欧几何的诞生有何意义？3、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？4、如何化解第一次数学危机?5、如何化解第二次数学危机?,数学家贝尔特拉米(意 ， Beltrami，1837-1900)：证明了平行公设独立于前四条公设。,非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命,首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战,其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学,
