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1、3-3 二阶系统的时域分析,研究典型二阶系统具有重要的意义，不仅在工程实践中比较常见，而且许多高阶系统在一定条件下可以近似为二阶系统。,系统的闭环传递函数为：, 系统阻尼比（阻尼系数）, 无阻尼自然振荡角频率,闭环系统特征方程为：,闭环系统特征根(闭环极点)为：,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,对于单位阶跃输入：,响应：,其反变换即为二阶系统的单位阶跃响应。当 不同时，所对应的响应具有不同的形式。,1. 时（无阻尼）,闭环极点为：,单位阶跃响应：,系统处于无阻尼状态，其响应为恒定振幅的周期函数，频率为n,(一对纯虚根),2. 时（过阻尼）,闭环极点为：,(一对不等的负实根),取拉氏反变换可
2、得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为：,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应包含两个单调衰减的指数项。且响应为非振荡的。,3. 时（临界阻尼）,闭环极点为：,(一对相等的负实根),单位阶跃响应：,临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。,4. 时（欠阻尼）,闭环极点为：,(一对不等的共轭负根),在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值的大小, 振荡角频率是特征根虚部的绝对值，振荡周期为,二阶系统的单位阶跃响应曲线,欠阻尼,无阻尼,临界阻尼,过阻尼,(1)临界阻尼二阶系统较过阻尼二阶系统有较快的响应速度。(较短的上升时间),(2)对欠阻
3、尼二阶系统，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。 通常取 0.40.8，最佳阻尼比 0.7,(3)若 相同， 不同，则他们具有相同的振荡特性，但速度不同， 越大，响应速度越快。,(4)零阻尼二阶系统为等幅振荡。,3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能分析,在实际情况中, 评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃信号的过渡过程的特征来表示的。通常，希望二阶系统工作在0.40.8的欠阻尼状态下。 因此, 下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。 另外, 系统在单位阶跃信号作用下的过渡过程与初始条件有关, 为了便于比较各种系统的动态性能, 通常假设系统的
4、初始条件为零。,1.上升时间tr,2.峰值时间tp,由三角函数的周期性, 上式成立需满足: dtp=0, ,2, 3， 由于峰值时间是过渡过程达到第一个峰值所对应的时间, 因此,令：,即：,3.超调量%,即:,超调量仅与阻尼比 有关，而与 无关。,阻尼比 越大，超调量 越小。,例1,例2,与关系曲线,4.调节时间ts,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)位于曲线,之内, 这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算过渡过程时间ts, 所得结果一般略偏大。若允许误差带是, 则可以认为ts就是包络线衰减到区域所需的时间, 则有,解得:,若取=5%, 并忽略 时, 则得,欠阻
5、尼二阶系统动态性能分析,(1)z一定，b一定，tr 1/wn ； wd一定 时， z越小，tr 越小；,(2)取决于z, 与wn 无关, z越大, 越小；,(3) ts 取决于闭环极点实部，距虚轴越远， ts越小；,(4) z 主要由来确定， ts 主要由wn确定。,例1：设系统结构图如图所示，当一单位阶跃信号作用于该系统时，试求系统的动态性能指标tr、tp、和ts。,解：由题意系统闭环传函为:,例3-1：设系统结构图如图所示，要求系统具有性能指标20，tp1s ，试确定参数K和，并计算单位阶跃响应的特征量td、tr和ts。,解：由题意系统闭环传函为:,系统闭环传函为:,作业,设单位反馈二阶系
6、统单位阶跃响应曲线如图所示，试确定此系统的动态性能指标tr、tp、ts和%及系统的闭环传递函数。,通常总是希望控制系统的阶跃响应进行得比较快，即瞬态响应很快便衰减为0。 当1时，调节时间比较长，因此设计系统时总希望系统处于欠阻尼的状态。对于一些不允许出现超调（例如液体控制系统，超调会导致液体溢出）或大惯性（例如加热装置）的控制系统，则可采用1，使系统处于过阻尼的状态。,3.3.4 过阻尼二阶系统动态性能分析,当1时，二阶系统的阶跃响应为,阶跃响应无超调，用ts即可描述系统的动态性能。 与ts/T的关系曲线如所示。由图可见， 愈大， ts也愈大。 =1是非振荡响应过程中具有最小调节时间的情况。,
7、3.3.5 二阶系统的单位斜坡响应,当输入信号为单位斜坡信号时，系统输出为：,取拉斯反变换,得不同 值下二阶系统的单位斜坡响应。,3.3.6 二阶系统性能的改善,1.比例微分控制(PD),称为开环增益,闭环传递函数为,开环传递函数为,令,结论,比例微分控制可以不改变自然频率 ，但可增大系统的阻尼比,微分器对高频噪声信号有放大的作用。,当输入为单位阶跃函数时,2.测速反馈控制,为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速),系统的开环传递函数,闭环传递函数,测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。,测速反馈不影响系统的自然频率 不变,可增大系统的阻尼比,结论：,测速反馈不形成闭环零点，测速反馈与PD对系统动态性能的改善程度是不相同的。,例3：设控制系统如图所示。其中(a)为无速度反馈系统，(b)为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.5时 Kt 的值，并比较系统(a)和(b)阶跃响应的动态性能指标。,解：系统(a)的闭环传递函数为,上升时间,峰值时间 超调量调节时间 系统(b)的闭环传递函数为,可知，采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。,本节结束,在0 （阻尼角不会超过0 ）范围内，cos为减函数，所以n一定，越大，tr越大。,
