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1、,第十章 矩阵位移法,第十章 矩阵位移法,10-1 概述,10-2 矩阵位移法解连续梁,10-3 矩阵位移法解平面刚架,10-4 矩阵位移法解平面桁架,矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。,理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机,101 概 述,基本思想:,化整为零,- 结构离散化,将结构拆成杆件,杆件称作单元.,单元的连接点称作结点.,单元分析,对单元和结点编码.,单元杆端力,集零为整,- 整体分析,单元杆端力,结点外力,单元杆端位移,结点外力,单元杆端位移,(杆端位移=结点位移),结点外力,结点位移,基本未知量
2、:结点位移,102 矩阵位移法解连续梁,一.离散化,-整体编码,1,2,3 -结点编码,(1),(2),(3) -结点位移编码,结点位移逆时针为正,结点弯矩逆时针为正,二.单元分析,建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.,-单元杆端力,1,2-局部编码,单元分析的目的:,1,2,-单元杆端位移,单元杆端弯矩和单元杆端转角逆时针为正.,=,=,+,简记为,-单元刚度方程,其中 称作单元刚度矩阵(简称作单刚),单元刚度矩阵中元素的物理意义,-发生 位移时在 i端所需施加的杆端力.,单元刚度矩阵性质:对称矩阵,三.整体分析,整体分析的目的: 建立结点力与结点位移的关系.,-结构刚度矩阵(总刚),总刚的
3、形成方法 -“对号入座”,例: 计算图示梁,作弯矩图,解: 1.离散化求单元刚度矩阵,2.计算总体刚度矩阵、总荷载,4.求杆端力,6,7/2,1/2,3,3.解方程,求位移,M-图(kNm),0,6,3,五.(零位移)边界条件处理,方法:,先处理法,后处理法,后处理法:,置0置1法,乘大数法,(1)置0置1法,0,0,0,1,0,M-图(kNm),1/2,1,2,1,M-图(kNm),(2)乘大数法,若 ,则将总刚主对角元素 乘以大数N.,第三个方程变为:,六.非结点荷载,(1).等效结点荷载,-结构等效结点荷载,=,+,“等效”是指等效结点荷载引起的结点位移与非结点荷载引起的结点位移相同,(
4、2).等效结点荷载的计算,(2).等效结点荷载的计算,“对号入座”形成结构的等效结点荷载,单元固端力:荷载引起的固端弯矩. 逆时针为正.记作,单元固端力改变符号称为单元等效结点荷载,记作,由单元等效结点荷载“对号入座”可形成结构等效结点荷载,(3).结构综合结点荷载,-直接结点荷载,-等效结点荷载,-结构综合结点荷载 (总荷),(4).最终杆端力计算,-计算结点位移,-计算杆端力,=,+,七.例题 矩阵位移法解图示梁,作M 图.,解:,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,总荷：,4.边界条件处理,总刚：,5.解方程,6.求杆端力,7.作M图,1.29,27.43,19.43,9.71,1.29
5、,27.43,19.43,9.71,5.解方程,6.求杆端力,7.作M图,八.边界条件的先处理法,解:,1.离散化,2.求总刚,4.解方程,先处理法,后处理法,其它过程同后处理法,3.求总荷,九. 无结点线位移的刚 架的计算,1(0),2(1),3(2),4(0),解:,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,4.解方程,5.求杆端力,103 矩阵位移法解平面刚架,一.离散化,将结构离散成单元的分割点称作结点.,结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等,整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。,（1,2,3）,（4,5,6）,（7,8,9）,（10,11,12）,（13,
6、14,15）,（16,17,18）,坐标系:整体(结构)坐标系;,局部(单元)坐标系.,曲杆结构:以直代曲.,变截面杆结构:以等截面杆代替变截面杆,二.单元分析,建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.,单元杆 端力,单元分析的目的:,单元杆 端位移,单元杆端力和单元杆端位移的方向与局部坐标系方向一致为正.,则有:,若令:,则有:,若令:,则有:,若令:,单刚的性质:,1.对称矩阵,2.奇异矩阵,单刚的分块矩阵表示:,单刚的分块矩阵表示:,三.坐标转换,1.问题的提出,2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系,局部坐标系下的杆端力,整体坐标系下的杆端力,简记为:,其中,可直接验
7、证坐标转焕矩阵是一个正交矩阵.,即,对于杆端位移有相同的关系:,3.整体坐标系下的单元刚度矩阵,-整体坐标系下的单元刚度方程,其中,-整体坐标系下的单元刚度矩阵,(整体单刚),4.整体单刚的计算,4.整体单刚的计算,已知:,求:各单元整体单刚,解:,利用物理意义求:,令:,则有:,作业:用此方法求2单元整体单刚其它元素.,四.整体分析(后处理法),1.结点力与结点位移的关系,结点力,结点位移,由变形协调条件,有,同理,有,由结点1平衡条件:,由结点2平衡条件:,由结点3平衡条件:,-结构原始刚度矩阵,-结构原始刚度矩阵,采用“对号入座”的方法,2.结构原始总刚的形成,3.单刚子块在总刚中的分布
8、规律,主子块-主对角线上的子块.,付子块-非主对角线上的子块.,相关结点-有单元相连的结点.,相关单元-与结点相连的单元称为 该结点的相关单元.,规律:,(1)若i,j为相关结点, 为连接 i,j结点的单元单刚的相应付 子块;若不是相关结点,(2)主子块 为 i 结点的相关单 元单刚主子块之和.,4.总刚中元素的物理意义,则有:,若令:,则有:,若令:,(1).对称性,5.原始总刚的性质,(2).奇异性,(3).稀疏性,6.总刚的半带存贮,带宽,变带宽存贮,半变带宽存贮,等带宽存贮,半等带宽存贮,等半带宽计算公式:,d=(相关结点最大差值+1),半带宽与结点编码有关,19层,1,2,3,4,3
9、9,40,总刚占用存贮单元:,1,2,20,21,40,19,22,总刚占用存贮单元:,五.边界条件处理,已知某结点位移,1.乘大数法,做法:取大数N,总刚中元素乘以N;并用 替换,2.置零置1法,做法:(1)用 中的第i列代替,(2)将总刚中第i行第i列的非主对角元素置0;,(3)将总刚中主对角元素 置为1,总荷中元素 置成c,经边界条件处理后的总刚称为结构刚度矩阵.,结构刚度矩阵是一个非奇异矩阵.,六.非结点荷载处理,-单元固端力,-单元等效结点荷载,例.计算图示结构的等效结点荷载,例.计算图示结构的等效结点荷载,例.计算图示结构的等效结点荷载,按物理意义求解:,1.划分单元、编码；2.形
10、成结构原始总刚；3.形成综合结点荷载；4.引入边界条件；5.解方程；6.求杆端力。,七.杆端力计算,八.计算步骤及程序流程,九.先处理法,2(4,5,6),1(1,2,3),3(7,8,9),1(0,0,1),2(0,2,3),3(0,0,0),4(4,5,6),后处理法,先处理法,总刚的形成:,4(10,11,13),九.先处理法,1(0,0,1),2(0,2,3),3(0,0,0),4(4,5,6),-单元定位向量,九.先处理法,-2单元定位向量,4(4,5,6),九.先处理法,4(4,5,6),十.不计轴变刚架的计算,计轴变时的结点位移编码,不计轴变时的结点位移编码,梁单元的单刚,柱单元
11、的单刚,局部单刚与梁相同.,解:,解:,利用总刚元素物理意义求总刚:,同理可求:,已知:各杆长均为12m,线刚度均为12,等效结点荷载的另一求法:,各杆长均为12m,线刚度均为12,解方程,求杆端力,M,Q,105 矩阵位移法解平面桁架,一.离散化,二.局部坐标系下单元刚度方程,二.局部坐标系下单元刚度方程,局部坐标系单元刚度方程,局部单刚,三.整体坐标系下单元刚度方程,-整体部坐标系单元刚度方程,-整体单刚,四.整体分析,-整体单刚,整体分析及求杆端力与刚架类似.,例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.,已知:EA=6 0 , P=100,解:,-整体单刚,-整体单刚,五.组合结构的计算,采用两种单元,其它过程与前类似.,例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.,已知:EA=6 0 , P=100,解:,五.组合结构的计算,采用两种单元,其它过程与前类似.,例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.,已知:EA=6 0 , P=100,解:,五.组合结构的计算,采用两种单元,其它过程与前类似.,例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.,已知:EA=6 0 , P=100,解:,杆端力计算与前相同,杆端力计算与前相同,
