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1、1,趣 味 数 学,2,我们先计算下面两道题！,3,二十秒钟加数,请用20秒，计算出左边一列数的和。,时间到！,答案是 231。,4,四十秒钟加数,再来一次！,时间到！,答案是 6710。,5,这与“斐波那契数列”有关,若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,6,一、兔子问题和斐波那契数列,1 兔子问题 1） 问题 取自意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年） (L.Fibonacci,1170-1250）,7,2 斐波那契生平 斐波那契 （Fibonacci.L,1175125
2、0） 出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的算盘书。,8,斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。 他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了算盘书外，保存下来的还有实用几何等四部著作。,9,六、 斐波那契协会和斐波那契季刊,1 斐波那契协会和斐波那契季刊 斐波那契1202年在算盘书中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，之
3、后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。,10,有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了斐波那契季刊。,11,兔子问题,假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且以后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么,由一对刚出生的兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?,12,解答,1 月1 对,13,解答,1 月1 对,2 月1 对,14,解答,1 月1
4、对,2 月1 对,3 月2 对,15,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,16,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,17,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,18,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,7 月13 对,19,解答,可以将结果以列表形式给出：,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,因此，斐波那契问题的答案是 144对。以上数列， 即“斐波那契数列”,20,兔子问题的另外一种提法： 第一个
5、月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？,规律,月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。,21,2） 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3, 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377， 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。,22,二、 相关的问题,斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强
6、大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。,大自然中的斐波那契数列,24,自然界中的斐波那契数 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。,25,1） 花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。,26,花瓣中的斐波那契数花瓣的数目,马蹄莲（1）,27,白色马蹄莲（1）,28,虎刺梅（2）,29,紫露草（3）,30,铁兰
7、（3）,31,铁兰（3）,32,花瓣中的斐波那契数花瓣的数目,洋紫荊（5）,黃蝉（5）,蝴蝶兰（5）,33,花瓣中的斐波那契数花瓣的数目,雏菊（13）,雏菊（13）,兰花,1,3,2,苹 果 花,1,5,3,2,4,格桑花,1,2,5,3,4,6,8,7,雏菊,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,38,3 5 8,13 21 34,40,2）树杈的数目,13853211,41,3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数,向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数条；反向再数就变成了条是不是很有意思呀！,43,向日葵花盘内，种子是按对数螺线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组
8、螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。,44,多叶芦荟，又名螺旋芦荟,45,松果种子的排列,46,松果种子的排列,47,松果种子的排列,48,菜花表面排列的螺线数（5-8）,49,这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。,50,2） 用斐波那契数列及其推广变魔术, 让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连续
9、的十个数，你能很快说出这些数的和。 其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的11倍。,1 1 2 3 5 8132134,5589144233377610987,51,“二十秒钟加数”的秘密,数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！,所以右式的答案是：,21 11 = 231,52,“二十秒钟加数”的秘密,又例如：,右式的答案是：,610 11 = 6710,53,推广的斐波那契数列与斐波那契数列一样，与黄金分割有密切的联系：该数列相邻两数之比，交替地大于或小于黄金比；并且，两数之比的差随项数的增加而越来越小，趋近于0，从而这个比存在极限；而且这个比的极限也是黄金比 。,54,类似于前面提到的数列,其极限也是,习题、过河问题1,有一个农夫，带了一包米，一只鸡和一只狗准备要过河。当农夫不在时，鸡会吃米，狗会吃鸡，河边有一艘船，农夫在船上一次只能带一样东西，请问农夫该怎么过河？ 初级过河问题,解答,农夫带鸡过河，空手回；农夫带狗过河，带鸡回；农夫带米过河，空手回；农夫带鸡过河。,57,作业、,1、 求2、3、4、已知 求,
