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1、3.3.3函数的最大(小)值与导数,1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值和最小值.,1,2,1.一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.归纳总结 1.一个函数在闭区间上连续,一定有最大值和最小值,但不一定有极值.如f(x)=x,xa,b.2.一个函数在闭区间上连续,则只有一个最大值和最小值,但可以有多个极值.3.最值可能是某个极值,也可能是区间端点处的函数值.,1,2,2.求函数y=f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)
2、的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1,2,【做一做1】 给出下列四个命题:若函数f(x)在a,b上有最大值,则这个最大值一定是a,b上的极大值;若函数f(x)在a,b上有最小值,则这个最小值一定是a,b上的极小值;若函数f(x)在a,b上有最值,则最值一定在x=a或x=b处取得;若函数f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内必有最大值与最小值.其中真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.3个,1,2,解析:答案:A,1,2,【做一做2】 给出下列四个命题:函数y=2x在(-,0)内无最值.其中是真命题的是.(填序号),1
3、,2,解析:分别作出四个函数的图象:由图象可知命题是真命题.答案:,1,2,【做一做3】 求函数f(x)=x3-4x2-3x在区间1,4上的最大值和最小值.解:f(x)=3x2-8x-3.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:故f(x)在区间1,4上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6.,1.函数最值与极值的区别和联系剖析如果函数在某些点处连续但不可导,那么也需要考虑这些点是不是函数取得最大值和最小值的点.(1)在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如函数 在(0,+)内连续,但没有最大值与最小值.(2)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函
4、数的最大值和最小值是一个整体性概念.函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.(3)函数f(x)在闭区间a,b上连续,是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分不必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.(5)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.,2.求最值的方法剖析利用导数法求最值,实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值,因此,我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通.令f(x)
5、=0得到方程的根x1,x2,直接求得函数值f(x1),f(x2),然后与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然把导数法与函数的单调性相结合,也可以求最值.,题型一,题型二,题型三,【例1】 求下列各函数的最值:(1)f(x)=2x3-6x2+3,x-2,4;(2)f(x)=ex(3-x2),x2,5.分析:将导数为0的函数值与端点处的函数值比较.,题型一,题型二,题型三,解:(1)f(x)=6x2-12x=6x(x-2).令f(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,因此,当x=4时,f(x)取最大值35.当x=-2时,f(x)取最小值-37
6、.(2)f(x)=3ex-exx2,f(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)=-ex(x+3)(x-1).在区间2,5上,f(x)=-ex(x+3)(x-1)0,函数f(x)在区间2,5上单调递减.当x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;当x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.,题型一,题型二,题型三,反思1.求闭区间上的可导函数的最值时,可不判断函数的极值是极大值还是极小值,只需要把极值直接与端点的函数值比较即可获得.2.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型
7、二,题型三,【例2】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+c在-1,2上的最大值为3,最小值为-29,求a,c的值.分析:因为f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),所以f(x)的符号与a有关,从而影响到函数何时取到最大值和最小值,因此本题需要对a进行分类讨论.,题型一,题型二,题型三,解:显然a0,f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去).(1)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,所以c=3.因为f(2)=-16a+c,f(-1)=-7a+c,所以f(-1)f(2).故当x=2时
8、,函数f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.,题型一,题型二,题型三,(2)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=0时,函数f(x)取得最小值,所以c=-29.因为f(2)=-16a+c,f(-1)=-7a+c,所以f(-1)f(2),故当x=2时,函数f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.综上(1)(2)可知,a=2,c=3或a=-2,c=-29.,题型一,题型二,题型三,反思 解决本题时,可以综合地运用求解函数的最大(小)值的方法确定参数a,c的值.解题的关键在于对函数中的参数a进行讨论,确定函数的极值以及最大(小)值在哪一点处
9、取得.而且当x0为闭区间上的唯一极值点时,则由极大(小)值点可进一步断定x0为该区间上函数的最大(小)值点.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围.解:(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b,题型一,题型二,题型三,(2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x,h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1,h(x)=3x2+6
10、x-9.令h(x)=0,得x1=-3,x2=1.当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:当x=-3时,取极大值28;当x=1时,取极小值-4.而h(2)=3h(-3)=28,若h(x)在区间k,2上的最大值为28,则k-3.,题型一,题型二,题型三,【例3】 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.分析:(1)利用二次函数求h(t);(2)h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立等价于g(t)=h(t)+2t-m0对t(0,2)恒成立,所以,只需求出g(t)的最大值,令g
11、(t)max0,可求出m的取值范围.,题型一,题型二,题型三,解:(1)f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(xR,t0),当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0,得t=1,t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表:,在t(0,2)上,当t=1时,g(t)max=1-m,h(t)1.故实数m的取值范围是(1,+).,题型一,题型二,题型三,反思 1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参数函数的最值即可.2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.,题型一,题型二,题型三,
