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1、第十章 重积分,点、线、面、体及其性质研究,第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,复习定积分,1.曲边梯形的面积,2.定义,3.推广,(2)积分区间a,b是有限区间.,(2)积分区间a,b是无限区间.,4.定积分思想：,分割、近似、求和、取极限.,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,二重积分的概念与性质,第十章,10-1 二重积分的概念与性质,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：,求曲顶柱体的体积采用 “分割、,近似、求和、取极限”的方法，,曲顶柱体,曲顶.,一、引例,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：
2、 xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,曲顶柱体的体积,D,步骤如下：,用若干个小平顶柱,先分割曲顶柱体的底，,曲顶柱体的体积,为各小闭区域的直径的最大者.,曲顶柱体的体积，,体体积之和近似,并取典型小区域，,求平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,其面密,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,(常数),“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决.,所有小块质量之和近似等于薄片总质量:,其中：,为各小闭区域的直径
3、的最大者.,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,(3) 极限值均取决与一个函数与其定义区域.,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,则称,称为积分变量,1.对定义的说明：,表示一个确定的数值，,它只与,有关，,积分变量所使,用的字母无关，,即,(1),定义中和式的极限,必存在，,即二重积分必存在.,平面薄片的质量为：,2.二重积分的几何意义
4、,即,当被积函数大于零时，,当被积函数小于零时，,二重积分,二重积分是柱体的体积,特殊地：,若在D上,则,D的面积,是柱体的体积的负值.,？,则面积元素为,3.直角坐标系下的面积元素,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,？,性质,当k为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质1,性质2统称为线性性质.,性质,对区域D具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质6,（二重积分中值定理）,(二重积分估值不等式),设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值,和最小值，,为
5、D的面积，,则,性质7,设函数f(x,y)在闭区域D上连续，,为D的面积，,则在D上至少存在一点,使得,证：,由闭区域上连续函数的介质定理，,使,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,与直线,解,例2,比较积分,与,的大小，,其中D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).,三角形斜边方程为,在D内有,故,于是,因此,例3. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,解,例4,区域D的面积,在D上,由性质6知,解,在D上，,
6、例5,估计积分,的值，,其中D是,圆形区域：,而区域D的面积,由性质6知,所以,即,四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化,计算二重积分.,注意:,注： 关于 对称，即 互换 ， 保持不变.,（轮换对称性），,例6(2005),解,由轮换对称性，有,例7. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,五、小结,定义：,性质:,2.二重积分:,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.,二重积分与定积分有类似的性质.,1.定积分:,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，,思考题解答:,被积函数为定义在平面区域上的二元函数,的一元函数，,积分的积分区域为区间，,且此值只与被积函数及积分区域有关,而二重积分的积分区域为平面区域，,被积函数为定义在区间上,不同的是定,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,3. 计算,解:,六、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,
