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1、,3.2一元二次不等式,复习一元二次方程,（1）公式法 X=,求根的方法：,（2）配方法，化为顶点式,（3）十字相乘法,复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0),方法一：,方法二：,方法三：,复习一元二次函数,复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a0),当a0时图像,复习一元二次函数,复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a0),当a0时图像,是二次的不等式叫做一元二次不等式.,问题：如何解一元二次不等式呢？,定义：含有一个未知数，,并且未知数的最高次数,一元二次不等式定义：,所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:,y,例1：解一元二次不等式x2-2x-30,分析：,令y=x2
2、-2x-3，得到一元二次函数。,求得x2-2x-30的两根为x1=-1，x2=3,y=x2-2x-3,x,o,-1,3,研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下：,(1).当x取 _ 时，y=0？ 当x取 _ 时，y0?,x= -1 或3,x3,-1x3,(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 0 的解集为 ,x|x3,x|-1x3,y=x2-2x-3,x,o,-1,3,y0,y0,问题探究：,x1,x2,=b2-4ac,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象,方程x2+bx+c=0的根,ax2+bx+c0（a0） 的解集,ax2+bx+c0) 的解集,x1(x2),0,=0,0
3、,有两个不等实根 x1,x2(x1x2),x|xx2,x|x1xx2,有两个相等实根x1=x2,无实根,x|xx1,R,一元二次不等式解集表（a0),例1.解不等式 2x23x2 0 .,解:因为 =(-3)2-42(-2)0,方程的解2x23x2 =0的解是,所以,原不等式的解集是,先求方程的根,然后想像图象形状,注:开口向上,大于0解集是大于大根,小于小根,若改为:不等式 2x23x2 0 .,注:开口向上,小于0解集是大于小根且小于大根,图象为:,小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式,其方法步骤是:,(1)先求出和相应方程的解，,(2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。,若a
4、0时,先变形!,解： 因为= 16 -16 =0,方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2,故原不等式的解集为 x| x 1/2 ,题3：解不等式- x2 + 2x 3 0,解：整理，得 x2 - 2x + 3 0,因为= 4 - 12 = - 8 0,方程 2 x2 - 3x 2 = 0无实数根,所以原不等式的解集为,题2：解不等式4x2-4x +10,注:x2 -2x+3 0,注:4x24x1 0,课堂练习,例4：已知不等式 的解集是 ，求实数 的值.,例5：解关于x的不等式：,解：,含参变量的不等式,例6：解关于x的不等式：,解：,例1. x2 + 5ax + 6
5、0,解：由题意，得：=25a224,1.当=25a2240 ，,2.当=25a224=0 ，,3.当=25a2240,解集为：,解集为：,解集为：R.,二、典型题选讲,（ 含参不等式的解法）,变式1. x2 + 5ax + 6a2 0,解：因式分解，得:（x+3a)(x+2a) 0，,方程（x+3a)(x+2a) 0的两根为3a、2a.,当3a 2a 即a 0时，,解集为：xx3a 或 x2a;,当3a =2a 即a =0时，,解集为：xxR且x0；,当3a 0时，,综上：,当a 0时，解集为：xx 2a或x 3a.,当a =0时，解集为： xxR且x0;,当a 3a或x 2a;,解集为：xx
6、 2a 或 x 3a.,原不等式为 x20,变式2. ax2 + (6a+1)x + 6 0,二、当a0时，,当a0时，,一、当a=0时，,当a0时，,综上，得,对于不等式恒成立问题，主要考虑六条图象，通过交点数和开口方向a去刻画.,注：最高次项系数未定时,分“等于0”和 “不等于0”两种情况.,例：已知 恒成立，求a的取值范围。,解：,不等式恒成立，即解集为R,不等式ax2 +（a-1）x+ a-10对所有实数xR都成立，求a的取值范围.,分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知： (1) a 0，且 0. 因此a -1/3。（2）a = 0时，不等式为-x-1 0 不符合题意。
7、综上所述：a的取值范围是,二次不等式ax+bx+c0的解集是全体实数的条件是_.,a0时，b-4ac0,（1）二次不等式a x2 +bx +c 0恒成立,例题：已知关于x的不等式：,(a-2)x2 + (a-2)x +1 0恒成立，,解：由题意知：,当a -2=0，即a =2时，不等式化为,当a -20，即a 2时，原题等价于,综上：,试求a的取值范围.,1 0，它恒成立，满足条件.,知识概要,（2）二次不等式a x2 +bx +c 0恒成立,（3）二次不等式a x2 +bx +c 0恒成立,（4）二次不等式a x2 +bx +c 0恒成立,(二)含参不等式恒成立的问题,小结,（1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进行集合的交集和并集的运算（2）含参变量的不等式问题： 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小，利用分类讨论的数学思想 求参变量的取值问题，借助二次函数的图像，利用数形结合的数学思想,谢谢,
