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1、2-6 一维定态的一般性质,一维定态薛定谔方程为,定理1：设 是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭 也是该方程的一个解，且与 对应同一能量本征值。,证明：,上式两边取复共轭，且考虑到 ，则,定理得证。,定理2：对于一维定态薛定谔方程，如果 和 是对应于同一个能量本征值的两个独立的解，则有,（与 无关的常数）,证明：,上面两式两边分别乘以 和 ，然后相减，得,定理得证。,定理3：对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为2。,证明：,设对于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则,令 ，则,即,与假设矛盾。定理得证。,定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。,证明：,设对于同一能量本征值，存
2、在两个独立的波函数，则,对束缚态：,所以,两者代表同一个量子态，因此能级不简并。,定理得证。,定理5：一维束缚态的本征函数可以是实数。,证明：,由定理1得， 和 都是薛定谔方程的解。由定理4得，它们最多相差一常数因子，即,取复共轭,所以,取 ，则,即本征函数可以取实数。,定理得证。,定理6：设势能具有空间反演不变性，即 。若 是一维定态薛定谔方程的一个解，则 也一定是对应同一个能量本征值的另一个解。,证明：,考虑到 ，得,作代换 ，则,定理得证。,定理7：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。,证明：,由定理4和定理6，得,作代换 ，则,偶
3、宇称；,奇宇称。,定理得证。,定理8：如图所示，在一维情况下，若 在 点不连续，且 、 有限，则在 点 及 仍连续。,证明：,对上式作 运算，得,第一项,第二项,所以,又因为,所以,定理得证。,2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化,一、自由粒子波函数的规格化二、本征函数的箱归一化,2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化,自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即 。,一、自由粒子波函数的规格化,1一维情况,首先，讨论 的情况。,令 ，则,方程的解,故方程无解。（动能不能小于零）,显然，,当 时，,当 时，,不能满足波函数有限性的要求；,不能满足波函数有限性的要求；,令 ，则,两个特
4、解,其次，讨论 的情况。,若 的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成,它是能量的本征函数，相应的能量本征值为,由于 取值连续，所以能量本征值可以连续取值。除基态外能量本征值二度简并。,显然， 表示动量。,表示粒子向右运动；,由于 给出的不是平方可积的波函数，无法使用归一化条件，即,考虑到,通常情况下，要对无限扩展的平面波进行所谓的规格化，也就是将其规格化为 函数。于是，得到规格化常数,规格化（“归一化”）后的波函数为,或,容易验证，上式也是动量算符的本征函数。,2三维情况,或,二、本征函数的箱归一化,1一维情况,在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为零。,在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为,因为粒子出现在箱的两端处的概率相同，所以,此即所谓周期性条件。,有,若限定粒子在 的范围内运动，则它的波函数是归一化的。当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。,显然，动量和能量的本征值都是断续的。,显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。当 时，能级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量本征值是连续的相吻合。,归一化,自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零，这种状态称为非束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零，这种状态称为束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。,2三维情况,
