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1、全等三角形的复习,复 习 课,一.全等三角形：,1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性质？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法： QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.
2、角的平分线：1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,知识回顾：,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2。全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时 要观察待证的线段或角， 在哪两个可能全等的三角形中。 分析要证两个三角形全等， 已有什么条件，还缺什么条件。 有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角， 有对顶角的，对顶角也是对应角。总之，证明
3、过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,证明方法,方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),练习,1 证明线段相等的方法,(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.,运
4、用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法,2 证明角相等的方法,(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.,3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法.,可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.,4 辅助线的添加:,(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角
5、形.,5. 证明三角形全等的思维方法:,（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.,解：PC是 APB的角平分线APC= （角平分线定义）在 中,2.如图，PA=PB，PC是PAB的角分线，A=55.求：B的度数, （ ）, A=B（ ） A
6、=55（已知） B=_（等量代换）,BPC,APC和BPC,PA=PB(已知),PC=PC(公共边),APC BPC,SAS,全等三角形对应角相等,练习,55,复习题11,SABF = SBDF,SABD = SAFD,SBDC = SAFD,SABE = SDEF,ABD CDB,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,探一探,1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则ABCDCB吗?说说理由,2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AE=AD,AB=AC. ABEACD吗?说说理由.,B,C,O,D,E,A,图（2）,3.如图（3），若OB=OD，A=C
7、， ABOCDO吗?说说理由.,A,D,B,C,O,图（3）,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,人教版八年级数学上册,5、如图：AC=AD,AB=AB, 且 B=BABC与ABD全等吗?,A,B,C,D,4、如图：AB=CD，BF=DE，DEC= BFA=90,ABF与CDE 全等吗？,探一探,1、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。,12,c,A,B,D,E,三.练习：,类型一、全等三角形的性质和判定,两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线
8、上，连结DC(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DCBE .,解：（1）BAECAD 证明：BACEAD90 BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD， ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA, 又COEAODBEACOE CDAAOD90 则有DCE180 9090， 所以DCBE.,【点评】ABE与ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.我们可以试着从变换的角度看待ABE与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转9
9、0得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90，即DCBE.,如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.,证明：AEAB，ADAC， EABDAC90 EABDAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB与EAC中， DABEAC （SAS） BDCE.,类型二、巧引辅助线构造全等三角形,(1)作公共边可构造全等三角形：2、 如图：在四边形ABCD中，ADCB，ABCD. 求证：BD.,证明：连接AC， ADCB，ABCD. 12，34 在ABC与CDA中 ABCCDA（ASA） BD,点评】B与D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三
10、角形.添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，则连接对角线BD.,举一反三：【变式】在ABC中，ABAC.求证：BC,证明：过点A作ADBC 在RtABD与RtACD中 RtABDRtACD（HL） BC.,(2)倍长中线法：,己知：在ABC中，AD为中线.求证：AD,证明：延长AD至E，使DEAD， AD为中线， BDCD 在ADC与EDB中 ADCEDB（SAS） ACBE 在ABE中，ABBEAE，即ABAC2AD AD.,人教版八年级数学上册,辨一辨,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）C
11、EDE（4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）DECE （4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,人教版八年级数学上册,辨一辨,A,B,E,C,D
12、,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）CEDE（4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,ADBC,ACBD,ABBA,ABDBAC(SSS),辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）DECE （4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形
13、全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,ADBC,DECE,SSA不可以判定全等。,12,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）CEDE（4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2
14、）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,A,B,E,C,D,1,2,ADBC,D=C,1=2,ADEBCE(AAS),人教版八年级数学上册,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）CEDE（4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,A,B,E,C,D,ADBC,DAB=CBA,ABBA,ABDB
15、AC(SAS),人教版八年级数学上册,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）DECE （4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,ACBD,AE=BE,DECE,DECE,12,AE=BE,ADEBCE(SAS),辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）CEDE（4）
16、D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,ACBD,D=C,SSA不可以判定全等。,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）CEDE（4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（
17、3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,ACBD,DAB=CBA,SSA不可以判定全等。,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）DECE （4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,D=C,1=2,DECE,ADEBCE(ASA
18、),辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）DECE （4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,DECE,DAB=CBA,没有形成全等的条件,人教版八年级数学上册,辨一辨,例1：如图，对于给出的五个等量关系（1）ADBC（2）ACBD（3）CEDE（4） D=C（5）DAB=CBA，小刚认为至少要给三个条
19、件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？,（1）（2）,（1）（3）,（1）（4）,（1）（5）,（2）（3）,（2）（4）,（2）（5）,（3）（4）,（3）（5）,（4）（5）,D=C,DAB=CBA,AB=BA,ABDBAC(AAS),4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？,12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=A
20、B，连结AD、AG。求证： ADG 为等腰直角三角形。,拓展题,9.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,例2. 如图，CA=CB，AD=BD，那么A=B吗？请说明理由。,添加辅助线：构造全等三角形,变一变,A=B,解：,理由如下：,连结DC，在ACD和BCD中
21、,CACBADBDCDCD, ACDBCD（SSS）, A=B,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,例3. 如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN。,变一变,M,N,证明：连结CD,在ACD和BCD中,CACBADBDCDCD, ACDBCD（SSS）, A=B,M、N分别是CA、CB的中点，AC=BC, AM=BN,在AMD和BND中,AMBNA=BADBD, AMDBND（SAS）, DM=DN。,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,如图：两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。,12米,12米,用一用,解：两个木桩离旗杆底部的距离相等,理由如下：,ADBC ADB=ADC=90，,在RtADB 和RtADC中,ABAC12,ADAD,RtADB RtADC(HL), BD=CD,想一想,探一探,辨一辨,用一用,理一理,作 业,一、全等三角形的定义、性质、判定；二、全等是证明线段相等、角相等的 重要方法；三、知道能够通过添加辅助线构造三 角形全等。,理一理,请用三角形全等的知识自行设计一种测量底部不可到达物体的宽度(如河宽、池塘宽、山底部宽等等）的方案。,作业,
