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1、傅里叶分析,Fourier变换的提出,1807年傅立叶写成关于热传导的基本论文热的传播，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝.1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1817年傅立叶由于对传热理论的贡献于当选为巴黎科学院院士。1822年成傅立叶为科学院终身秘书。 热的解析理论正式出版傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。热的解析理论影响了整个19世纪分析严格化的进程和各个学科的发展，是数学和科学中的伟大发明之一。,让巴普蒂斯约瑟夫傅里
2、叶,1768年3月21日1830年5月16日,法国数学家、物理学家,时间序列,三角级数,定义由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数基本函数族组成：1，cos(nt)，sin(nt)性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；,傅里叶展开,傅里叶展开定理：,其中：,可得展开系数：,傅里叶展开的意义,傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数,例子：对称方波的傅立叶展开,傅里叶级数推广（1）,问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：方法：对基本公式作变换,傅里叶级数推广（2）,问题：把定义在 -L, L
3、上的函数 f(t)展开；方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期为2L的函数的一部分)，再按推广1展开；,拓延前：,拓延后：,问题：把定义在 0, L 上的函数 f(t)展开；方法：先把它延拓为-L, L上的奇函数或偶函数再按上述方法展开；,傅里叶级数展开的复数形式,基本函数族：,正交性：,展开系数：,展开公式：,傅里叶级数在海洋工程中应用举例,幅值的获取,3阶Stokes波,波浪在潜堤上传播,数值模型的验证,如何计算,需注意：,必须在整周期内计算cos或者sin函数的选取根据波形的起始情况,特殊情况处理办法 时间不连续序列的分析,由于在波浪作用下自由水面是上下振动的，在测波浪点压力时
4、，模型自由水面附近有一部分时间段会在波谷到达测点时会露出水面，这段时间测不到压力值，会导致所测时间序列的不连续，因此无法用前述方法进行计算。,计算步骤：假定有效测量时间Te为波动的周期，在Te时间内对上式进行积分,压力时间序列为：,可求得：,傅里叶变换,非周期函数的傅里叶展开,非周期函数的傅立叶展开问题：把定义在（， ）中的非周期函数 f (x)展开；思路：把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L ；实施：展开公式,展开系数：,困难展开系数 cn 为无穷小；幂指数 nx/L 不确定。,解决方法：把 n/L 作为新变量，即定义n = n/L ；把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=c
5、nL/.公式的新形式：展开公式：,展开系数：,取极限：傅立叶变换：,傅立叶积分：,例 矩形脉冲函数为,如图所示:,1,-1,O,t,f (t),1,现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则,则：,sinc(x),x,sinc函数介绍,26,前面计算出,w,可将 以竖线标在频率图上,27,如果令T=16, 可计算出,w,再将 以竖线标在频率图上,当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成
6、, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称作方波函数f (t)的傅里叶变换.,傅里叶变换的实质,时间/空间域,频/波数域,傅里叶变换的算法,连续傅里叶变换,实际中采集的数据都是离散形式（间隔为t）并且采集点数是有限的：,离散傅里叶变换,假定数据是周期性的，采样间隔为t, 则频率分辨率为,频率可表示为：,离散傅里叶变换可表示为：,写成矩阵形式：,其中：,一个算例,取n = 0,1,2,4, t = 1/4。,离散傅里叶逆变换：,离散傅里叶变换是关于N/2对称的,快速傅里叶变换-FFT,N = 8,FFT中的蝶形运算,DFT vs FFT,Mat
7、lab FFT 实用方法,命令:fft: 计算时间序列的fftfftshift ：把fft计算的结果按照频率顺序排列，N/2对应的是 零频率,需注意的是：,N必须是2的整数次方：8, 16, 32256,.1024,计算截止频率计算频率分辨率去势（把零频率成分去掉）计算fft,栅格效应,如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。,解决办法：增加频率分辨率,增大采样间隔增多采样次数,How？,能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。,泄露解决方法 -加窗函数,举例,幅值的提取,作业,动手编程演示序列幅值提取动手编程序列的计算fft，并演示栅栏效应和泄露，以及通过加窗解决问题程序发到邮箱：,预祝同学们假期愉快！,
