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1、第26章,二次函数图像及性质复习课,二次函数,一、二次函数的定义,1.定义：一般地,形如 y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.,2.定义要点:(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a0.(2)等式的右边x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.,如： yx2， y2x24x3 ， y1005x2，y=2x25x3 等等都是二次函数。,典型例题,例1.当m取何值时,函数y=(m+1) - 2+1是二次函数？,分析:根据二次函数的定义,只需满足m+10且m2-m=2即可.,二、二次函数的图象及性质,当a0时开口向上，并向上无限延伸；当a0
2、时开口向下，并向下无限延伸.,(0,0),(0,c),(h,0),(h,k),直线,y轴,在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,y轴,直线x=h,直线x=h,x=h时ymin=0,x=h时ymax=0,x=h时ymin=k,x=h时ymax=k,4.二次函数y=a2+b+c图象特征与a、b、c及的符号之间的关系.,抛物线在坐标系的形状和位置与系数a、b、c及的符号之间有着密切的联系.知道图象位置可以确定a、b、c及的符号;反过来,由a、b、c及的符号可以确定抛物线的大致形状和位置.,字母,图象的特
3、征,字母的符号,a,b,c,开口向上,开口向下,对称轴在y轴上,对称轴在y轴左侧,对称轴在y轴右侧,经过原点,与y轴正半轴相交,与y轴负半轴相交,与轴有两个交点,与轴有唯一交点,与轴没有交点,a0,a0,b=0,a、b同号,a、b异号,c=0,c0,c0,0,=0,0,-1,-2,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的几个特例：(1)当x=1 时，(2)当x=-1时， (3)当x=2时，(4)当x=-2时，,y=a+b+c,y=a-b+c,y=4a+2b+c,y=4a-2b+c,o,1,2,二次函数的图象和性质,做一做,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o
4、,a0,b0,c=0,0,例2、函数 的开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .,解：, 顶点坐标为:,对称轴是：,向上,中考链接：,1.（05浙江丽水）如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）（A）最大值1 （B）最小值3 （C）最大值3 （D）最小值1,B,中考链接：,2.（05梅州）根据图1中的抛物线，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最大值。,2,2,2,、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,c0 B、a0,c0 D、a0,b0,c0,2、二次函数y=ax2+bx+
5、c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c=0,B,A,o,练习：,典型例题,例1.求抛物线y=-22-5+7的顶点坐标和对称轴.,分析:求抛物线的顶点坐标有两种方法,一是利用配方法将一般形式化成顶点式;二是利用顶点坐标公式.,二次函数解析式有哪几种表达式？,一般式：y=ax2+bx+c,顶点式：y=a(x-h)2+k,两根式：y=a(x-x1)(x-x2),2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常
6、设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),求抛物线解析式的三种方法,例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。,解法一：顶点式,设解析式为,顶点C（1，4）,又A(-1,0)在抛物线上，, a = -1,即：, h=1, k=4.,典型例题,例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。,解法二： 一般式,设解析式为,顶点C（1，4），,对称轴 x=1.,A(-1,0)关于 x=1对称，,B（3，0）。,A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，,即：,三、应用举例,解法三：两根式,设解析式为,
7、抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0）, y = a (x+1) (x- 3),又 C（1，4）在抛物线上, 4 = a (1+1) (1-3), a = -1, y = - ( x+1) (x-3),即：,例1、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。,三、应用举例,1.已知抛物线经过(-1,2),(0,1),(2,-7)三点,求抛物线的解析式.,分析:已知抛物线上任意三点的坐标,可选用一般式,从而得到关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值.,解:设所求抛物线的解析式为y=a2+b+c,课堂练习:,抛物线经过(-1,2),(0,1),(2,-7)三点
8、,2.已知抛物线的顶点为(-1,3),与y轴的交点为(0,2).求抛物线的解析式.,分析:已知抛物线的顶点坐标,选用顶点式较简捷.,解:设抛物线的解析式为y=a(+1)2+3 将=0,y=2代入上式,得a=-1.所求抛物线的解析式为y=-(+1)2+3,3.已知抛物线y=a2+b+c与轴交于A(-1,0)、B(3,0),并且经过点C(0,-3).求抛物线的解析式,分析:因为A(-1,0)、B(3,0),是抛物线与轴的两个交点,所以选用交点式比较简捷.,解:设抛物线的解析式为y=a(+1)(-3).将C(0,-3)代入,得a=1.所求抛物线的解析式为y=(+1)(-3),1、（新课程新同步中作业
9、题）已知：y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况为（ ）（A）有两个不相等的实数根（B）有两个异号实数根（C）有两个相等的实数根（D）无实数根,能力训练,D,2. 如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？,球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为2.25m时，才能投中。,解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为B(0,3
10、.5),C(1.5,3.05).,拓展练习： 如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为美观，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度为2.25米, 如果不计其他因素, 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？,解：以水面OC所的直线为 x 轴，柱子OA所在的直线为y轴，O为 原点建立直角坐标系，,则A、B两点的坐标分别为A(o, 1.25) B(1, 2.25)，,解得：x = 2.5 或 x = - 0.5 (舍去)所以，水池半径至少需要2.5米。,作业:,1.综合练习卷一份2.课堂感悟第一单元(补充完整),谢谢大家,结束寄语,生活是数学的源泉.,再见,探索是数学的生命线.,
