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1、风子编辑,最大公约数与最小公倍数,五年级,教育目标,掌握最大公约数与最小公倍数的概念，及两者的关系,教育重点,掌握用因数分解法、短除法、辗转相除法等求最大公约数或最小公倍数,教育难点,最大公约数和最小公倍数在实际问题中的应用,学会求最大公约数和最小公倍数的方法,能够运用最大公约数和最小公倍数解决实际应用问题,第一课 基础部分,2520 14850 819,280 1650 91,例1、求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。,【分析】题目给定的是三个数，我们一般可以采用短除法和因数分解法，因为数比价大，我们选择短除法。,9,三个数的数码和相加能被9整除,已找不出都能约的数,从对
2、280、1650和91三个数的因数分解，也可以看出，这三个数没有公约数了。所以，有,（2520，14850，819）=9 2520,14850,819=9280165091=5405400,例2、求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。,【分析】求三个或三个以上数对最大公约数和最小公倍数，可以使用短除法和因数分解法。我们先对36、108、126进行因数分解,36=2232,108=2233,126=2327,对三个数分解后，三个数共有的部分因数232=18就是最大公约数，最大公约数与非共有部分相乘18237=756就是最小公倍数。,下面用短除法试试：,36 108 126,4 12 1
3、4,9,三个数的数码和相加能被9整除,这三个数都能被2整除,2,2 6 7,三个数互质，已找不出都能约的数,所以：（36，108，126）=18,36，108，126=922137=756,2,1 3 7,三个数两两互质,说说短除法与因素分解法的优缺点,求最大公约数： 1）必须每次都用n个数的公约数去除； 2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）； 3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。,用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：,求n个数的最小公倍数： 1）必须先用n个数的公约数去除，直至商互质，再用n-1个数的公约数去除，直至这n-1个数互质，并依次下去； 2）只
4、要还有两个数能够被同一个数整除，就要继续除，直至n个数的商两两互质； 3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。,例3、夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走。小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长多少米？,【分析】有两个问题需要问下大家。为什么雪地上留下的脚印是60个呢？脚印和长度之间有什么关系呢？,我们来演示一下，小龙和爸爸步测花园的过程。,因为 54 ,72=216，即每216厘米，两个人又处于相同的位置。而21654=4，21672=
5、3，即此时小龙走了4步，爸爸走了3步。,因为被框起来的脚印是在同一个位置，小龙走在了爸爸的脚印上，所以我们只能看到一个。即两个人每216厘米有6个脚印。,所以，60个脚印，是由606=10组这样的脚印组成。则这条小路的长为21610=2160厘米，即21.6米。,例4、设a=36，b=54，证明（a，b）a，b=a b,对于任意不等于零的两个自然数a、b恒有（a，b）a，b=a b,【分析】先对a、b两个数求最大公约数和最小公倍数,36=2233 54=233,所以，（a，b）=18，a , b=108,则有， （a，b）a , b=1994=3654=ab,例5、现有4个不同的自然数，它们的
6、和是1111.如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是多少？,【分析】使公约数最大的条件是什么？,因为1111=11101（如何判定能被11整除），为使公约数最大，且四个自然数互不相同，则保留大的质数，并对小的质数11进行拆分。,11=1+2+3+5（为什么这样拆分）,所以这四个不同的自然数为101、202、303、505，最大公约数为101.,例6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？,奇数个连续自然数的和可以表示为am n（am为中间的那个数，n为自然数的个数
7、）偶数个连续自然数的和可以表示为（a1+an）n/2（a1、 an为首项和末项，n为自然数的个数）,根据以上罗列的连续自然数的特性，我们可以知道，奇数个连续自然数的和一定能够被这个奇数整除；偶数个连续自然数的和，一定能够被这个偶数的1/2整除。,结合题目给定的条件，这个自然数能够被5、9、11整除，且5、9、11互质，所以符合这样条件的最小自然数为： 5911=495,【分析】问：连续自然数的和的特点？满足整除条件的最小自然数？,第二课 提高部分,练习：把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果 还缺2个，一共最多有多少个小朋友？,分析：也就是说用18个梨、27个苹果正好够
8、分，那么18与27的最大公约数9， 就是最大可能数。答案：（20-2,25+2）=（18,27）=9,练习：一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数的和为10，那么 此数为几？,分析：最小的约数是1，而最小的3个约数和为10，那么剩下两个约数和为9，剩下两个约数的奇偶性相反，即一奇一偶。一个包含偶约数的数，一定是2的倍数，即2是他的约数，所以第二小的约数为2；第三个约数为9-2=7。于是可知这个两位数为27=14的倍数，且不是3,4,5,6的倍数（因为7为第三小的约数），满足此条件的只有114与714。而14仅有4个约数。答案：714=98,题：文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中
9、，平均每15人有3个人得一等奖，每 8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有 多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）,分析：参加竞赛的人数必定是15、12、8的最小公倍数整数倍，通过获奖人数 可以验证倍率。解：15,12,8=120 120153=24,题：一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后 来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）,分析：在4米与6米的整数倍处，正好重合，不需要再挖。但不要忘了第一个。解：4,6=12 9612+1=9,题：两个自然
10、数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差,分析：最大公约数为5，说明这两个数的个位是5。设两数为5a、5b，则a+b=10，且a、b只能为奇数（如为偶数，约数中将会有25），所以符合条件的a、b为1、9与3、7两组。所以这两个数为15、35与5、45。差为40或20,题：已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数， n有10个约数，求数m与n的和,分析：因为75=3 ，所以我们可设 ， 。从最大公约数可知，p、x中较小的数是1，q、y中较小的数是2。因为质因数个数=（各因素个数+1）的乘积。所以（p+1）（q+1）=12,（x+1）（y+1）=
11、10, 又12=34=26，10=25，则p=3，q=2，x=1，y=4。所以 ， ，m+n=2550思考：p、q选择26是否可以？x=4，y=1是否可以？,题：动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒； 如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20粒那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？,分析：花生总粒数=12第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60花生总粒数是60，120，180，,那么：第一群猴子只数是5，10，15， ；第二群猴子只数是4，8，12，
12、 ；第三群猴子只数是3，6，9， ；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒,知识点小结,约数和倍数的定义：如果一个自然数A能被自然数B整除，那么A就是B的倍数，B 为A的约数。最大公约数的定义：一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干 个自然数的公约数，在所有公约数中，最大的一个公约数，称为这若 干自然数的最大公约数。（6,9,15）=3,求最大公约数的方法： 1、分解质因数法：先分解，再把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：大数小数=商.余数 小数余数=商.新余数 直到
13、余数为0，那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如最后的 除数是1，那么原来的两个数互质）。,最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这 个然数是这若干个自然数的公倍数，在所有公倍数中最小的一个 公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数（6,9,15）=90求最小公倍数的方法： 1、分解因数法：先分解，再去共同因数，再取积 如：231=3711 252=22337 231,252=2233711=2772 2、短除法：18,12=2332=36 3、最大公约数法：a ,b =a b( a, b),求一个数所有约数的个数： 步骤一：分解质因数 （a为合数N的质因数） 步骤二：求约数个数：,求所有约数和：,求一组分数的最大公约数： 先把分数化为假分数，求出各分数分母的最小公倍数a，各分数分子的最大公约数b；最大公约数即为,ba,求一组分数的最小公倍数： 先把分数化为假分数，求出各分数分母的最大公约数a，各分数分子的最小公倍数b；最大公约数即为,ab,
