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1、1.3 算法案例,冷水江市第一中学 杨玉林,最大公约数的求法,1.回顾算法的三种表述：,自然语言,程序框图,程序语言,（三种逻辑结构）,（五种基本语句）,2.,小学学过的求两个数最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,思考,(1)求两个正整数的最大公约数,例.求30和75的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,(2)除了用这种方法外还有没有其它方法？,如何简洁的求8256和6105的最大公约数?,30,3,10,75,25,5,2,5,开始,i=m,输入：m,n,m MOD i0或 n MOD i0?,i=i-1,输出
2、：i,结束,N,Y,mn?,t=m,m=n,n=t,N,Y,穷举法（也叫枚举法）步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。,A.穷举法,Input“m,n=“;m,nIf mn then Swap m,nend if i=mWhile m mod io or n mod i0 i=i-1wendPrint iend,B.辗转相除法（欧几里得算法）,下面我们介绍用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步:用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和61
3、05的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步:对6105和2146重复第一步的做法,8251=61051+2146,6105=21462+1813,同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公
4、约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,辗转相除法（欧几里得算法）,（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法
5、，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT“m,n=“;m,nIf mn thenSwap m,nend ifDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；
6、判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,例1 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以，98和63的最大公约数等于7,先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4,2、更相减损术,（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一
7、对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT“a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND,输入a,b,是,否,b=r,a=b,r=a-b,a=r,否,是,
8、INPUT“a,b=“;a,bi=0r1=a mod 2r2=b mod 2While r1=0 and r2=0 a=a/2 b=b/2 r1=a mod 2 r2=b mod 2 i=i+1WendWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT b*2iEND,程序：INPUT“a,b”;a,bi=0WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 WEND DOIF ba THENt=aa=bb=tEND IFa=a-bLOOP UNTIL a=bPRINT a*2iEND
9、,练习:求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,思考?,设计一个称序,求已知n个正整数的最大公约数?,input“n=”；nprint“i=”；1input“ai=”；ai=1while i=n-1 i=i+1print“i=”;iinput“ai=”;b Do r=a mod b a=b b=r loop until r=0wendprint“The max is”;aend,辗转相除法,INPUT“a1”;aInput“n=“,nm=1While ma THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b a=a*2iWendPrint“The max is”;aEND,更相减损术,比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到,小结,再 见,
