奥数最大公约数与最小公倍数ppt课件.ppt

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1、最大公约数和最小公倍数,一、基本概念和技能,1、公约数与最大公约数;2、公倍数与最小公倍数;3、 互质数;4、求最大公约数与最小公倍数的方法:(1)列举法:(2)分解质因数法;(3)短除法。,1、公约数与最大公约数的概念,看下面的两行数: 12 的约数有:1、2、3、4、6、12; 18 的约数有:1、2、3、6、9、18;定义: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做最大公约数。 如12和18 的公约数有1、2、3、6. 其中6 是12和18的最大公约数,记作 (12,18)=6,2、公倍数与最小公倍数的概念,我们看下面的两行数3的倍数:3 6 9 12 15 18 21

2、 24 27 30 33 36 39 42 45 48 。5的倍数:5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 。像15、30、45 。这样,它们是3和5公有的倍数,叫做3和5 的公倍数;其中最小的一个是15,15就叫做3 和5的最小公倍数。 记作: 3,5 15,最大公约数与最小公倍数的比较,公约数是几个数公有的约数,个数是有限的,最大公约数是其中最大的那个。公倍数是几个数公有的倍数,个数有无限多个,最小公倍数是其中最小的那个。,3、互质数,如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。即:如果(a,b)1,那么a,b两数就是互质数,例如:2和3、4和9,6和25

3、等,4,怎样求两个数的最大公约数,(1)、列举法:(2)、分解质因数法:(3)、短除法:,18的约数:,30的约数:,公约数:,1、2、3、6,最大公约数:6,1 2 3 6 9 18,1 2 3 5 6 10 15 30,(1)列举法,例如,求18和30的最大公约数。,例如,求18和30的最大公约数。,18,2,9,3,3,18= 2 3 3,30,2,15,3,5,30= 2 3 5,公有的质因数的积就是最大公约数,(2)分解质因数法,(18,30)236,例如:求18和30的最大公约数。,18 30,2,9,3,3,18和30的最大公约数:,2 3 =6,15,5,也可以写成 (18,3

4、0)2 3 =6,(3)短除法,5、怎样求最小公倍数,1、列举法2、分解因数法3、短除法,(1)、列举法,3的倍数:3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 。5的倍数:5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55.。公倍数;15、30、45、。其中最小的一个是15,15就叫做3 和5的最小公倍数。 记作: 3,5 15,例如,求18和30的最小公倍数,18,2,9,3,3,18= 2 3 3,30,2,15,3,5,30= 2 3 5,公倍数的质因数包含两个数所有的质因数,(2)分解质因数法,18、30 233590,例如:求

5、18和48的最小公倍数,18 30,2,9,3,3,18和48的最小公倍数:,2335 =90,15,5,也可以写成 18,302 3 35 =90,(3)短除法,二、简单应用(1)求整除中几个数的共同的除数最大公约数,例1、用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?分析:因为要求的数去除30、60、75、都能整除,所以要求的数是30、60、75的公约数,而其中最大的就是最大公约数。,解,30,60,75,6,12,15,2,4,5,5,3,(30,60,75)5315,答:这个数最大是15。,用短除法求最大公约数,(2)整除中几个数共同的被除数最小公倍数,例2、一个数用3、4

6、、5除都能整除,这个数最小是多少?分析:这个数能被3、4、5整除,说明它是3、4、5的公倍数,解: 3,4,5 60答:这个数最小是60 。,例3、有三段铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米,现在要将它们截成长度相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?分析:要截成相等的小段,每段长度应当是120、180、300的公约数;最长,长度应当是120、180、300的最大公约数,应用举例(3)不同长度的拆分,解,120,180,300,4,6,10,2,3,5,30,2,(120,180,300)30260,答:每段最长60厘米,一共可以截成10段。,所以,

7、每小段最长是60厘米。,12060180603006023510 (段),(4)合理设置工序的工位,例4、加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?分析:要使生产均衡,各道工序生产出的零件应当一样多,且正好是3、10和5的公倍数。,解:要使生产均衡,各道工序生产出的零件应当一样多,并且是3、10和5的公倍数。,3,10,5,3,2,1,5,3,10,5532130,各道工序均应加工30个零件。,答:三道工序至少分别需要10个、3个、6个工人。,

8、30310 30103 3056。,例5、一次会餐有三种饮料,餐后统计,三种饮料共用了65瓶;已知,平均每2人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人?分析:由题意知参加会餐的人数应当是2、3、4的公倍数。试一下看看,解: 2,3,4 12 参加会餐的人数应当是12 的倍数,又每12人用 122123124 64313 (个饮料瓶) 65135 参加会餐的人数是12560 (人)答:参加会餐的人数是60人。,思路回眸(一),在解决有关最大公约数或最小公倍数问题时,关键是分析题意,弄清是求最大公约数或最小公倍数。在把几个数进行拆分的时候,常常当需要求几

9、个数共同的约数,可以利用短除法求几个数的最大公约数。一般情况下,当求的数相对于已知条件处于被除数位置时,求的是最小公倍数;拼或同时的时候,求公倍数,三、最大公约数与最小公倍数的关系,例9、两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个是28,另一个数是多少?分析:假期里我们已经学过:最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 即:(a,b) a,b ab 利用这个关系可以迅速地解答此类问题。如果不理解这个关系式,我们看下面的分析,解:设所求的数是x,则有,X 28,y 7,X与28的最小公倍数是252,4,4y7252,y252479,x4y4936,答:这个数是36。,我们来看最大

10、公约数与最小公倍数的关系,x284y474252,而x4y, 2847,在上面的题目中,(x,28)4 x,28 4y7252,即:(a,b) a,b ab,四、求两个较大数最大公约数的方法辗转相除法,例6、一张长方形纸片,长2703厘米,宽1113厘米。要把它剪成若干个同样大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大,问:这样的正方形的边长是多少厘米?分析:小正方形的边长应该是2703和1113的最大公约数,怎样求2703和1113的最大公约数?试验?短除? 我们可以这样想:剪成的正方形的边长既然是1113的约数,那么剪好的正方形一定能铺满以1113为边的大正方形,于是,2703 厘

11、米,1113厘米,477厘米,477厘米,159,477,477,辗转相除法,27031113 2 477 (第一步:大数除以小数)1113477 2 159(第二步:小数除以第一步的余数)477159=3 (第三步:第一步的余数除以第二步的余数)这里2703159= 17 1113159 =7 (7,17) 1 (除到整除时,最后一步的除数就是最大公约数) 这种求最大公约数的方法 辗转相除法,例7、求4811和1981的最大公约数和最小公倍数,解: 48111981 2 849 1981849 2 283 849283=3 (4811,1981) 283 根据最大公约数与最小公倍数的关系可以

12、求出 4811,1981 48111981 283=33677,应用举例阅读例10,小结,1、最大公约数和最小公倍数的概念2、最大公约数和最小公倍数的关系3、怎样求最大公约数和最小公倍数4、应用题型(1)最大公约数的应用(2)求最小公倍数的应用(3)最大公约数与最小公倍数关系的应用(4)辗转相除法的应用,(1)最大公约数的应用,当所求的数对于条件中的几个数处于除数的位置时,求的是最大公约数,(2)最小公倍数的应用,当所求的数对于条件中的几个数处于被除数的位置时,求的是最小公倍数。,(3)最大公约数与最小公倍数关系的应用,最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 即:(a,b) a,b a

13、b 在这个关系式中,知道其中任何三个,就可以求第四个。,(4)辗转相除法的应用,27031113 2 477 (第一步:大数除以小数)1113477 2 159(第二步:小数除以第一步的余数)477159=3 (第三步:第一步的余数除以第二步的余数)这里2703159= 17 1113159 =7 (7,17) 1 (除到整除时,最后一步的除数就是最大公约数) 这种求最大公约数的方法 辗转相除法,作业,第一次:课本 第24页第2、6题 第二次:课本第4题,课本习题答案,1、乙数是甲数的三倍,甲数与乙数的最小公倍数是54,甲数是多少?乙数是多少?解:因为乙数是甲数的3倍,所以他们的最小公倍数就是

14、乙数,因此甲数是18,乙数是54。,一块长方形地块,长120米,宽60米,要在它的周围和四角种树,每两棵之间的距离相等,每相邻两棵之间的距离最远是多少米?最少要种多少棵?解:由每两棵树之间的距离相等可知:它是120和60的公约数,因为(120,60)60,所以两棵树之间的距离最远是60米,最少要种6棵树。,3、已知两个自然数的积是5766,他们的最大公约数是31,求这两个数。解:设这两个数是A、B则A31a、B31b且(a,b)131a31b5766 ab6 a1、b6或a2、b3这两个数是31、186或者62、93,A B,a b,31,4解:再次见面所需的时间是6、8、12的公倍数,6,8,12 24 12425答:下次见面的时间是10月25日。,5、将长25分米,宽20分米,高15分米的长方体木块锯成完全一样尽可能大的立方体,不能有剩余,每个立方体的棱长是多少分米?体积是多少立方分米?一共可以锯成多少块?解:小立方体的棱长应当是25,20,15 的最大公约数,因为(25,20,15)5555125(255)(205)(155)54360 (块)答:每个正方体的棱长是5分米,体积是125立方分米,一共可以锯成60块。,6、解由题意知,一个地雷的重量应当是201,183及(201183)18的公约数因为(201,183,18)3答 :,

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