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1、概率论与数理统计部分难点问题解析,设 A1, A2, ,An 为样本空间 S 的一个完备事件组，B 为一个随机事件. 若 P (Ai ) 0, i =1,2,n, 则成立：,第一章 随机事件及其概率,全概率公式 与 贝叶斯 公式,全概率公式,P (B) = P (A1) P (B|A1)+ P (A2) P (B|A2)+ P (An) P (B|An);,贝叶斯公式,难点类型：利用两公式求概率.,例1 由三台机床加工一大批零件，加工比例分别为5:3:2，合格率分别为0.94 , 0.90, 0.95，在全部产品中随机抽取一个,(1) 求此零件合格的概率（产品合格率）； (2) 已知抽到的是合
2、格品，求此零件为1号机床加工的概率.,解 设 Ai : 零件由i 号加工(i=1,2,3 ), B: 抽到零件合格. 因此,P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2 ;,P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.90, P(B|A3)=0.95 .,(2) 由贝叶斯公式，,(1) 由全概率公式，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.47+0.27+0.19=0.93；,例2 盒中有9新、6旧共15只乒乓球，上午比赛时从盒中任取两球，用后放回，下午比赛时再从盒中任取两球.,(1) 求下午取两球都为新球的概率； (2
3、) 已知下午取两球都为新球，求上午取两球为1新1旧的概率.,解 Ai :上午取两球有i 个新球(i=0,1,2), B:下午取两新球. 因此,(2) 由贝叶斯公式，,(1) P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2547,例3 ( 产品检验问题 ) 要验收 100 件产品的方法是：抽取 3 件产品，若测出次品就拒绝接收 . 已知一件次品被测出的概率为 0.95 ，一件合格品被误测为次品的概率是 0.01 . 若这 100 件产品中恰好有 4 件次品，求这批 100 件产品被接受的概率.,解 设A: 产品被接受（抽到的3件产品都被认为是合格的
4、）. Bk : 抽到的 3 件产品恰有k 个次品(k= 0,1,2,3).,其中P (Bk ) 服从超几何分布:,P ( A | Bk ) = 0.05 k0.99 3k (k= 0,1,2,3).,由全概率公式，这批产品被接受的概率是P (A ) = k=03 P (Bk ) P (A | Bk ) = k=03 0.05k0.99 3 k 0.8629 .,C4k C96 3 k C1003,第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量函数的分布,难点类型,PY y = P g ( X ) y = P X g 1 ( y )，,解法,即,两端求导数,FY ( y )= FX ( g 1 ( y
5、 )，,fY ( y )= fX ( g 1 ( y ) g 1 ( y ).,已知 X 的密度函数 fX(x)，求 Y = g ( X ) 的密度函数.,例1 已知 X 具有密度函数,求 Y = 2X + 8 的密度函数.,解,两端求导得,PX ,例2 设随机变量X 的密度函数为,，求Y =1e 2 X 的密度函数 fY ( y ).,解,即 FY ( y ) = FX ( ).,两端求导得,PY y = P1e 2 X y =,即YU(0,1).,例3 证明 若 XN (0,1) , 即X 具有概率密度,则 Y = X 2 的概率密度为,第三章 多维随机变量及其分布,二维连续型随机变量及其
6、概率密度,1. 已知 (X,Y) 的密度函数 f (x, y)，求其分布函数F (x, y).,其中区域 D 为: u x, v y,解法 求二重积分,2. 已知 (X,Y) 的密度函数 f (x, y)，求X,Y 的边缘密度函数 f X (x) 及 f Y (y).,解法 求积分,例1 设 X , Y 的密度函数为,2 e ( 2 xy ) ,当 x 0 , y 0 ； 0 ， 其它,f ( x，y ) =,( 1 ) 求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算 P Y X .,解,( 1 ) 对任意的 x 0 、 y 0 ，,0 ， 其 它 .,F ( x，y ) =,于是,(
7、1e2 x)(1e y ) ,当 x, y 0,例1 设 X , Y 的密度函数为,2 e ( 2 xy ) ,当 x 0 , y 0 ； 0 ， 其它,f ( x，y ) =,( 1 ) 求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算 P Y X .,解,( 2 ) 设在G 0 上 f ( x , y ) 0 ，且 yx ，则,按 y - 型区域,用x -型区域求,用y -型区域求,解,例2 已知 X 、Y 的联合密度函数为：,计算 X、Y 的边缘概率密度.,6 ， x 2 y x ;0 ， 其它 .,f ( x，y ) =,第四章 随机变量的数字特征,定理 (独立同分布中心极限定理
8、) 设 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布，其期望 、方差 2 0 存在，则有,中心极限定理,定理 ( 棣莫弗- 拉普拉斯定理 ) 若 Xn b (n , p ) , 则有,.,.,.,或者,解,易知，E (Vk ) = 5 , D (Vk ) = 100/12 ,由独立同分布中心极限定理 ，有,于是有 PV 255=,例1 某仪器同时收到48个独立的噪音电压 Vk U(0,10) (k=1,48) . 记 V = V1 + V2 + + V48 . 求PV 255的近似值., 1 (0.5)= 0.3085.,以 X 记90000次海浪冲击时纵摇角大于3的次数，则 X b (
9、 90000 , 1/3 ) .,例2 一船舶在海上航行，已知每遭受一次海浪的冲击，纵摇角大于3的概率为 p=1/3，若船舶遭受90000次海浪冲击，问其中有 2950030500 次纵摇角大于3的概率是多少？,解,由棣莫弗 - 拉普拉斯定理 ，近似地有,P 29500X 30500=,=0.9996.,(1) 以Xk 记第k个学生来参加家长会的人数，则有,例3 设每个学生无家长、有1名家长、有 2名家长来参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有学生400名，且各学生参加会议的家长数独立同分布. 求下列概率： (1) 参加家长会的家长数超过450； (2) 有1名家长来参
10、加会议的学生数不超过340.,解,由独立同分布定理. 参加家长会的家长数,可求得，E (Xk ) = 1.1 , D (Xk ) = 0.19 , k=1,2,400.,P X 450,1 (1.147)=0.1357 .,(2) 若以Y 表示有1名家长来参加会议的学生数，则 Y b(400,0.8)，由棣莫弗 拉普拉斯定理得,P Y 450, (2.5)=0.9938 .,例3 设每个学生无家长、有1名家长、有 2名家长来参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有学生400名，且各学生参加会议的家长数独立同分布. 求下列概率： (1) 参加家长会的家长数超过450； (2
11、) 有1名家长来参加会议的学生数不超过340.,解,点估计的常用方法,第六章 参数估计,最大似然估计,由总体X的概率密度 f (x) (或分布律P X= xi )建立似然函数,或,求似然函数 L ( x1, x2, xn ;) 的最大值.,例1 设 X b(1, p). X 1 , X 2 , X n 是来自X 的一个样本，试求参数 p 的最大似然估计量.,解 X 的分布律为PX=x= px (1 p) 1x，x = 0,1 .设 x 1 , , x n 为样本值. 似然函数为,两边取对数，,求导数，令其为零，得,解得 p 的最大似然估计值为,所以， p 的最大似然估计量为,例2 设 X N(
12、 , 2). x 1 , x 2 , x n 是来自X 的一个样本值，试求参数 , 2 的最大似然估计量.,解 X 的概率密度为,故似然函数为,等式两边取对数，得,令其两个偏导数为零，得方程组,解得 , 2 的最大似然估计值分别为,所以， , 2的最大似然估计量分别为,现测得一组容量为8的样本观察值为 1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3，试求 p 的最大似然估计值.,例2 设总体X的分布律为,其中 p (0 p1/2)为参数，,解,似然函数 L( p) =,=2 p(1 p)2(12 p) 4( p2)2,取对数 ln L(p)=2ln2p+ ln(1 p)+ 4 ln(12p)+4ln p，,令 ln L(p)=,解得,舍去,所以p的极大似然估计值为,
