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1、第一节 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的.,定义1 设 X 、Y 为定义在同一个样本空间中的随机变量，称 ( X, Y ) 为一个二维随机变量(向量).,注 类似可定义n 维随机变量( X 1 ,X 2 ,Xn ). 请注意与一维情形的对照,第一节 二维随机变量,1. 多维随机变量的定义,第三章 多维随机变量及其分布,定义1 设 x , y 为
2、任意的实数 ，称二元函数 F ( x, y ) = P X x , Y y = P (X x) (Y y)为随机变量 ( X , Y ) 的 (联合) 分布函数.,2. 联合分布函数的定义及性质,注 联合分布函数是两个随机事件积事件的概率. 联合分布函数是否是两个随机事件概率的乘积?,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,F ( x, y ) = P X x , Y y ,F (x) = P X x,性质2 关于 x , y 是单调不减的(证);,
3、性质1 非负有界 0F ( x , y )1 ；,性质3,性质4 一元右连续，即分别关于 x 、 y 是右连续的.,性质5 对任意的实数 x 1 x 2 , y 1 y 2 ，有：,P x 1X x 2 , y 1 Y y 2 = F ( x 2 , y 2 )F ( x 1 , y 1 )F ( x 1, y 2 )F ( x 2 , y 1 ) 0 .,3. 二维离散型随机变量,或随机变量X和Y 的联合分布律.,k=1,2, ,一维离散型随机变量X,的分布律,k=1,2, ,定义2,的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,
4、称之为二维离散型随机变量 的分布律,性质3 对离散型随机变量 ( X , Y ),性质1 对任意的 i , j ， 有 p i j 0 ;,性质2,联合分布律的性质,例 1 从1, 2, 3, 4 中随机地取一个数 X ，再从 1, , X 中随机地取一个数 Y ，计算 X , Y 的联合分布.,解,X 、Y 的可能取值？,例2把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),4. 二维连续型随机变量,若存在 f
5、 ( x, y )0, 使得 ( X , Y ) 的分布函数 F (x, y) 满足 ：,则称 ( X ，Y ) 是连续型二维随机变量.,f ( x，y ) 称为 ( X ,Y ) 的 (联合) 密度函数.,性质1 f ( x，y ) 0 ；,性质3 若密度函数 f ( x ，y ) 连续，则有,f,性质2,X的概率密度函数,f ( x) 0f (x)dx = 1F (x) = f (x),性质4 二维连续随机向量概率计算公式,设 G 是平面上的任意一个区域，则,其几何解释为： P ( X,Y )G 的值等于以G为底，以曲面z = f (x,y) 为顶面的曲顶柱体体积.,P,x1 x2,P x
6、1Xx2 =F(x2)F(x1) =,例2 设 X , Y 的密度函数为,2 e ( 2 xy ) ,当 x 0 , y 0 ； 0 ， 其它,f ( x，y ) =,( 1 ) 求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算 P Y X （结合图形）.,解,( 1 ) 对任意的 x 0 、 y 0 ，,0 ， 其 它 .,F ( x，y ) =,于是,(1e2 x)(1e y ) ,当 x, y 0,例2 设 X , Y 的密度函数为,2 e ( 2 xy ) ,当 x 0 , y 0 ； 0 ， 其它,f ( x，y ) =,( 1 ) 求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2
7、 ) 计算 P Y X .,解,( 2 ) 设在G 0 上 f ( x , y ) 0 ，且 yx ，则,按 y - 型区域,作业 P84 2 ； 3,第二节 边缘分布,(X, Y )的分量 X (或Y ) 的概率分布称为X (或Y ) 的边缘分布.,X 与Y 的边缘分布函数分别为,F X ( x ) = F ( x ,+ )； F Y ( y ) = F (+, y ) .,1. 离散型随机变量的边缘分布律,若( X , Y ) 的分布律为 P X = x i , Y = y j = p i j ,则 X 及Y 的边缘分布律分别为：,p i = P X = x i ,p j = P Y =
8、y j ,例1 从1, 2, 3, 4 随机地取一个数 X ，再从1, , X 中随机地取一个数Y，计算 X、Y 各自的边缘分布律.,解 分布律见下表 . 则 X、Y 的边缘分布律为：,25 / 4813 / 48 7 / 48 3 / 48,1/4 1/4 1/4 1/4,X、Y 的边缘分布律分别为,2. 连续型随机向量的边缘概率密度,设( X , Y ) 的密度函数为 f ( x，y ) , x , y +.,则定义 X , Y 的边缘概率密度分别为：,用x -型区域求（x值固定，关于y积分）,用y -型区域求（y值固定，关于x积分）,用x -型区域求,用y -型区域求,解,例2 已知 X
9、 、Y 的联合密度函数为：,计算 X、Y 的边缘概率密度.,6 ， x 2 y x ;0 ， 其它 .,f ( x，y ) =,作业 P84 5；6；7；8；9,例4 二维均匀分布( X ,Y ) U ( G ), 其密度函数为,若( X ,Y ) U(a , b ; c, d ) , 可以证明 X U ( a , b ) , Y U ( c , d )，即,其中A为平面区域G的面积 .,例3 二维正态分布( X ,Y ) N ( 1, 2 ; 12 , 22 ; ),其密度函数为,可以求得 X 的边缘密度函数为,其中参数 1, 2 + ; 1 , 2 0 ;1 1 .,即， X N ( 1
10、, 12 ) ;,类似可得 Y N ( 2 , 22 ) .,f,一阶导数,定积分,定积分,?,F ( x，y ),f ( x，y ),f X ( x )f Y ( y ),F X ( x )F Y ( y ),?,极限,二重积分,二阶偏导,第四节 相互独立的随机变量,定义1 若对所有的实数 x , y ，随机变量 X 、Y都满足： F ( x,y ) = F X ( x ) F Y ( y ) 则称随机变量 X 、Y 是相互独立的 .,1. 两个随机变量相互独立的定义,2 . 离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证),X , Y 相互独立 对所有 i , j ，都有 p i j = p i
11、 p j ,即有， P X = x i ，Y = yj = PX = x i P Y = yj .,注 判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一对 i 0 、 j 0 ，使得：,例1 从 1 、2 、3 、4 中随机地取一个数 X ，再从 1 , , X 中随机地取一个数 Y . 判断X 、Y 是否独立？,解 见分布律表,显然，PX = 3, Y = 4= 0 PX =3 PY =4=(1/4)(3/48) .即 X 、Y 不独立.,Y,X,1 2 3 4,1 1/4 1/8 1/12 1/162 0 1/8 1/12 1/163 0 0 1/12 1/164 0 0 0 1/16,p j =
12、 P Y = y j ,p i = P X = x i ,25 / 4813 / 48 7 / 48 3 / 48,1/4 1/4 1/4 1/4,1,3 . 连续随机变量相互独立的充分必要条件(证),连续随机变量 X, Y 相互独立 对所有的实数 x, y ，都成立： f ( x ,y ) = f X ( x ) f Y ( y ) .,2 e ( 2 xy ) , 当 x 0 , y 0 ； 0 ， 其它,f ( x，y ) =,例 2 讨论X , Y 的独立性，( X,Y )的密度函数为,显然， f ( x，y )= f X(x) f Y(y)，即 X , Y 相互独立 .,解 其边缘密
13、度分别为,2 e 2 x , 当 x 0 , 0 ， 其它.,f X(x) =,e y , 当 y 0 , 0 ， 其它.,f Y(y) =,作业 P86 17 , 18,定理 若( X ,Y ) N ( 1, 2 ; 12 , 22 ; )，则 X , Y 相互独立的充分必要条件是 = 0 .,证 (略),定理2 若 X ,Y 独立, 且函数 g (u) 与 h (u) 都是连续 ( 或者单调 )函数 ，则 g ( X ) 与h (Y ) 也是独立的.,类似可定义 n 维随机变量( X 1, X 2 , , X n ) 及其联合分布函数，联合密度函数，联合分布律，相互独立等内容,随机向量相互
14、独立定义:,若对于所有的 x1, x2, , xm ；y1, y2, , yn 有,其中F1, F2, F 分别为随机变量 ( X1, X2, , Xm), ( Y1, Y2, , Yn ), (X1, X2, , Xm , Y1, Y2, , Yn )的联合分布函数，则称 (X1, X2, , Xm )和(Y1, Y2, , Yn ) 是相互独立的.,独立同分布定义,若一组随机变量相互独立，且都服从同一分布，则称该随机变量是独立同分布的. 独立同分布的随机变量的联合密度函数为: f ( x 1 , x 2, , x n )= f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n ).,定理
15、 设(X1, X2, , Xm ) 和 (Y1, Y2, , Yn ) 相互独立，则 Xi ( i =1, 2, m) 和 Yj ( j =1,2, n) 相互独立. 对于任意连续函数 h, g, h (X1, , Xm ) 和 g (Y1, , Yn ) 是相互独立的.,第五节 两个随机变量函数的分布,1. 离散型随机变量函数的分布律 （类似于一维）,2. 连续型随机变量函数的分布,(一) Z = X + Y 的分布,设 ( X ,Y ) 密度函数为 f ( x，y )，则Z = X + Y 的分布函数为,F Z ( z )= P Zz = P X + Yz ,.,用y-型区域,G,设 X
16、、 Y 有联合密度函数 f ( x ，y ) ，则 Z = X Y 的密度函数为：,特别的，当 X 、Y 相互独立时，设(X, Y)关于X, Y的边缘概率密度分别为f X ( x), f Y ( y ) 有：, Z = X + Y 的密度函数, 正态分布的可加性,更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,如果 X、Y 相互独立，并且 X N ( 1 , 12 ) ， Y N ( 2 , 22 ) ，则 X Y N ( 1 2 , 12 22 ) .,例2 一简单电路，两串联电阻R 1和R2 独立同分布，且其概率密度均为,求总电阻 R = R 1+ R2 的概率密度.,当 时，即在下列情况下，被积函数不为零，,或,解 R 的概率密度为：,在不同范围内积分即可求得R 的概率密度：,
