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1、1,第三章 多维随机变量,在实际工作中,常常需要同时用两个或更多的随机变量来描述所处理的问题。,例如,为描述一个人的身材特征,最起码要用身高 H 和体重 W 来描述。,假设=电子科大全体男生,任选 1 名男生,相应的身高和体重是 H()与W(),即一个样本点 对应着两个变量,(H,W)是定义在上的二维随机变量。,2,第一节 二维随机变量及其分布,在引入多维随机变量的定义之后,我们主要讨论二维随机变量,相对于一维随机变量,它们没有本质区别。,定义1.对样本空间的每一个样本点,有n个实数 X1(),X2(),Xn()与之对应,称由它们构成的有序数组(X1,X2,Xn)为 n 维随机变量。,3,下面
2、着重讨论二维随机变量:,设(X,Y)是定义在样本空间上的二维随机变量,分别单独看X 和Y,它们都是上的一维随机变量,将它们的分布函数分别记为,FX(x)=P Xx 和 FY(y)=P Yy,FX(x)和 FY(y)是两个一元函数,二维随机变量(X,Y)的分布函数则是一个二元函数。,4,1.二维随机变量的联合分布函数,定义2.设(X,Y)是二维随机变量,(x,y)是任意的实数对,记 Xx,Yy 为 Xx 与 Yy 的积事件,则称二元函数 F(x,y)=P Xx,Yy 是(X,Y)的联合分布函数。,一维随机变量 X、Y 的分布函数FX(x)与 FY(y)称为(X,Y)的边缘分布函数。,5,联合分布
3、函数与边缘分布函数的关系,由于,可以得到,Xx=Xx,Y,Yy=X,Yy,6,将(X,Y)看成二维平面上的一个随机点,则有,随机点(X,Y)落入该区域的概率就是联合分布函数,7,联合分布函数的基本性质,(1)F(x,y)分别单独对x 或 y为单调不减;,(2)F(x,y)分别关于x 或 y为右连续;,8,(3)0F(x,y)1,并且有,F(,)=1,F(x,)=0,F(,y)=0,F(,)=0,9,(4)对任意的实数 x1x2,y1y2,有F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0,实际上,上式,是随机点(X,Y)落入下面,区域内的概率。,x1 x2,y2y1,10,
4、如果有二元函数 F(x,y)满足上述四个性质,则它是某个二维随机变量的联合分布函数。,从联合分布函数 F(x,y)的性质,有,由联合分布函数 F(x,y)可以确定边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)。,但是,仅仅由边缘分布不能确定联合分布。,11,对于 n 维随机变量的联合分布函数,也有类似的定义和性质。（教材 P.88）,二维随机变量也有离散型和连续型两种常见的类型。,12,2.二维离散型随机变量及联合分布律,定义3.如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列无穷对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量。,记(X,Y)的可能取值为(xi,yj),并且,P X=xi,Y=yj=pi
5、j,i,j=1,2,称上式为(X,Y)的联合分布律。,13,二维离散型随机变量的基本性质,(1)pij0,i,j=1,2,(2),(3)联合分布函数 F(x,y)=,14,联合分布律与边缘分布律的关系,联合分布律可以确定边缘分布律,有如下公式:,15,用表格表示联合分布律和边缘分布律,16,仅仅只有边缘分布不能确定联合分布,教材 P.8889,例 3.1.3 和例 3.1.4 给出了反例:从两个不同的联合分布,得到了完全相同的边缘分布。,原因是:,多维随机变量的联合分布不仅仅与各分量的分布有关,还与各分量之间的关系有关。,17,3.二维连续型随机变量及联合概率密度,定义4.设 F(x,y)是二
6、维随机变量,(X,Y)的分布函数,如果存在非负函数,f(x,y),使得对任意的实数对(x,y),都有 F(x,y)=,则称(X,Y)是二维连续型随机变量,函数 f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度。,18,联合概率密度的基本性质,(1)f(x,y)0;,(2),这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作
7、为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准,这两条可作为判断
8、一个二元函数是否是联合概率密度的标准,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,还可以利用它们确定概率密度中的待定常数,19,(3)对二维平面上的区域 G,有,注:性质(3)常用于计算一些事件的概率,P(X,Y)G=,例如,P XY=,Pa1
9、 Xa2,b1Y b2=,20,(4)在 f(x,y)的连续点处,有,不难发现,二维联合概率密度的上述基本性质,在形式上与一维概率密度函数是相似的。,21,联合概率密度与边缘概率密度的关系,多维连续型随机变量的边缘分布仍然是连续型随机变量,相应的概率密度称为边缘概率密度。,有如下重要计算公式：,22,4.二维均匀分布与几何概型,设 G是二维平面的一个有界区域,其面积为 s,二维随机变量(X,Y)取值于区域 G内,并且取区域内每一点是等可能的,则(X,Y)的联合概率密度应为,由于,23,C=,因此,如果二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为,称(X,Y)在区域 G 上均匀分布。,24,设(X
10、,Y)在区域 G 上均匀分布,D 是 其中一个任意的子区域,则(X,Y)落入子区域 D 的概率为,该概率值与区域 D的形状、位置等均无关,只与 D的面积有关。,该概率值与区域 D的形状、位置等均无关,只与 D的面积有关。,该概率值与区域 D的形状、位置等均无关,只与 D的面积有关。,该概率值与区域 D的形状、位置等均无关,只与 D的面积有关。,25,回忆在第二章的“一维均匀分布”中,随机点落入子区间的概率只与子区间的长度有关,像这种借助于几何度量指标（长度,面积,体积等）计算概率,可建立所谓的“几何概型”。,26,在几何概型中,任意事件 A 的概率为,几何概型的基本特点是:基本事件等可能,总个
11、数无限,基本事件的总和（）及其任意部分（事件A）都可以用同一个几何指标()及(A)描述。,27,例1.有两个人相约中午12 点在某地会面,他们约定先到者等候 15 分钟,并且最多等到 2 点钟,求此二人能见面的概率。,分析:,此二人到达时刻在12点之间,并且可以认为在这个范围内的任一时刻是等可能的。,因此,可应用几何概型求解此问题。,28,解.设两人的到达时刻分别是 x 和 y,样本空间是如图所示正方形上的所有点;,o,x,y,1,1,2,2,二人能见面包含的是正方形内满足|xy|1/4的所有点。,如图所示:,xy=1/4,yx=1/4,29,于是,二人能见面的概率 p 为上图所示的两个区域面
12、积之比:,注:本题也可以利用服从均匀分布的随机变量来求解。设两人的到达时刻分别是 X 和 Y,则(X,Y)均匀分布于上图中的正方形,所求概率为 P|XY|1/4。,30,例1 求解的问题就是概率论中有名的“约会等待”问题,这个模型有很广泛的实际背景。如:相邻的两个信号互相干扰的概率;只有一个“服务台”的服务系统,因正在为前一个“顾客”服务而不能接待下 一位“顾客”的概率;这里的“顾客”和“服务台”都可以是很广义的概念,如轮船和停靠码头,入侵敌机和防御炮火,等等。,31,5.二维正态分布,如果二维随机变量(X,Y)具有如下的联合概率密度,这里,;而其中的 均为常数,32,则称二维随机变量(X,Y)服从参数为,(1,12;2,22;)的二维正态分布,记为,(X,Y)N(1,12;2,22;),二维正态分布是最重要的二维连续型分布之一。,33,二维正态分布的一个重要性质,设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,N(1,12;2,22;),则有,X N(1,12);Y N(2,22),即:二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。,
