同步发电机的数学模型课件.ppt

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1、电力系统分析第7章同步发电机的数学模型,教材配套课件,第7章同步发电机的数学模型7.1同步发电机的电压方程和磁链方程7.1.1同步发电机理想化的假设前提条件7.1.2电压方程和磁链方程7.2 派克变换 7.2.1派克变换表示的同步发电机方程7.2.2标幺制表示的派克变换7.3 同步发电机的稳态运行7.3.1空载运行7.3.2有载运行,7.1 同步发电机的电压方程和磁链方程,7.1.1 同步发电机理想化的假设前提条件1理想同步发电机首先假设所研究的发动机为“理想发电机”，常采用以下的简化假设条件： （1）忽略磁路饱和、磁滞、涡流等影响，假定电机铁心部分的导磁系数为常数，即认为电机铁心工作在线性区

2、域，因而可以应用重叠原理分析。 （2）电机转子对于直轴和交轴而言，在结构上分别对称。 （3）定子的三相绕组在结构上完全相同，空间位置互差120o电角度，因此在气隙中产生呈正弦分布的磁动势和磁感应强度（磁通密度）。 （4）电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感应的空载电势是时间的正弦函数。 （5）定子和转子的槽和通风沟不影响定子绕组和转子绕组的电感，即认为电机的定子和转子具有光滑的表面。,2正方向的规定在具有阻尼绕组的凸极同步发电机中，共有6个具有磁耦合关系的绕组。在定子上有a、b、c三相定子绕组，在转子上有一个励磁绕组f和两个用来代替阻尼绕组的D和Q等值绕组，一个沿转子直轴方

3、向（记为d轴），一个沿转子交轴方向（记为q轴）。阻尼回路是短接回路。三个转子绕组都随转子一起旋转，对于没有装设阻尼绕组的隐极同步发电机，实心转子的阻尼作用是反映整块转子铁芯中涡流所产生的阻尼作用。也可以用等值的阻尼绕组来代表。图7-1为同步发电机各绕组位置示意图。,图7-1发电机各绕组轴线正方向示意图,设定电压、电流以及磁链的参考方向,图7-2所示为同步发电机定子a、b、c三相绕组回路以及励磁绕组f和用来代替阻尼绕组的等值绕组D和Q回路。回路中电压及电流的参考方向如图所示，定子回路中电流的参考方向即为由绕组中性点流向端点的方向，电压的参考方向与相电流的相同，向外电路送出正向相电流的机端相电压是

4、正的，转子回路中各个绕组感应电势的参考方向与其绕组电流的参考方向相同。阻尼绕组回路电压为零。,图7-2 同步发电机各回路电路图（未考虑绕组互感）,7.1.2 电压方程和磁链方程,1、电压方程及磁链方程 根据以上设定的正方向，定子和转子各回路的电压方程可用矩阵表示为,（7-1）,式中 为各绕组的磁链； 为磁链对时间的导数， 。 如将矩阵中按虚线进行分块，则可以将方程式（7-1）简化为,式中rs、rR和分别为定子和转子电阻矩阵。,（7-2）,由于各绕组是互相耦合的，因此绕组的磁链将包括本绕组电流所产生的自感磁链和由其他绕组的电流与本绕组间产生的互感磁链。各绕组的磁链方程可用矩阵表示为,（7-3）,

5、式（7-3）中，L为绕组的自感系数；M为绕组之间的互感系数，两绕组之间互感系数是可逆的，如,（7-4）,在电压及磁链方程组中一般是把各绕组的电压作为给定量，而作为发电机参数的各绕组电阻和自感以及绕组间的互感都应该是已知量。当转子旋转时，定、转子绕组的相对位置不断地变化，在凸极机中有些磁通路径的磁链也随着转子的旋转做周期性变化，公式（7-3）中的许多自感和互感系数也就随转子位置而变化，因此要应用同步发电机的电压及磁链方程建立数学模型必先分析自感和互感系数的变化规律。,2电感系数的分析（1）定子各绕组的自感系数现以a相为例分析自感系数的变化。在图7-3a中画出了转子在四个不同位置时a相绕组磁通的磁

6、路。当 为90和180时，d轴与a相绕组轴线重叠，a相磁通路径的磁阻最小，相应地a相自感系数Laa具有最大值；当 为90和270时，q轴与a相绕组轴线重叠，a相磁通路径的磁组最大，因此a相自感系数Laa具有最小值。由此可见，a相自感系数的变化规律呈现出一个以为周期、随 角而变化的周期函数。如图7-4b所示,图7-4 定子绕组间的互感a）转子的不同位置；b）互感的变化规律,略去四次及四次以上高次谐波分量，可得,由于b、c相绕组分别滞后a相绕组,和,，因此其自感系数与,角的函数关系可以表示为,式中，,为零。由于自感总是正的，所以,恒大于,。,用傅里叶级数表示：,为自感的平均值；,为自感的变化部分的

7、幅值，在隐极机中,（7-5）,（7-6）,（7-7）,（2）定子绕组间的互感凸极机中，定子各绕组间的互感系数也与转子的位置有关。现以a相与b相之间的互感系数Mab为例，分析其变化规律。由图7-4a可见，当 为60和240时，转子轴线在a、b两相绕组轴线的中间位置，此时两相绕组的公共磁通遇到的磁组最大，因而绕组间互感系数Mab的绝对值最小；当 为150和-30时，公共磁通路径的磁组最小，因而互感系数的绝对值Mab最大。由此可见，定子互感系数也是一个以 为周期、随 角而变化的周期函数。由于两个绕组的空间位置相差120，a相绕组的正磁通交链到b相绕组时就成了负磁通，所以互感系数Mab恒为负值。同理，

8、b、c绕组间以及c、a相绕组间互感系数也是负的。根据上述分析，互感系数与 角的函数关系可以表示为,图7-4 定子绕组间的互感a）转子的不同位置；b）互感的变化规律,式中，m0为互感的平均值；m2为互感的变化部分的幅值，在隐极机中为零。由于互感系数恒有负值，故m0恒大于m2。,式（7-4）中的电感系数表达式为：,(7-9),（7-8）,（3）转子上各绕组的自感系数和互感系数 由于定子的内缘呈圆柱形，不管转子位置如何，凸极机和隐极机一样，对于转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁阻总是不变的，因此转子各绕组的自感系数都是常数，分别改记为Lf、LD、LQ。 与转子绕组的自感系数相似，转子各绕组间的互感系

9、数也应为常数。其中两个直轴绕组（励磁绕组f和阻尼绕组D）平行，他们之间的互感系数MfD=MDf=常数，由于转子的直轴绕组和交轴绕组互相垂直，他们之间的互感系数为零，即MfQ=MQf=MDQ=MQD=0。,（4）定子绕组和转子绕组间的互感系数1）励磁绕组与定子绕组间的互感系数 定子绕组和转子绕组间的互感系数与定子绕组与转子绕组的相对位置有关。 以励磁绕组与定子a相绕组的互感系数Maf为例，如图7-5所示。当转子d轴与a相绕组轴线重合时， 为0，两个绕组间的互感系数Maf有最大值；当转子旋转到 为90或270时，由于两个绕组的轴线互相垂直，他们之间的互感系数Maf为零；而当 为180时，两绕组轴线

10、反向，两者之间的互感系数Maf有负的最大值。互感系数的变化周期为 。对于b相和c相绕组也可做类似的分析。由此励磁绕组与定子绕组间的互感系数与 角的函数关系可以表示为,图7-5定子绕组和转子励磁绕组间的互感a）转子在不同位置时的互感系数；b)互感的变化规律,2）直、交轴阻尼绕组与定子绕组间的互感系数同理，定子各绕组与直轴阻尼绕组间的互感系数为,由于转子交轴落超前于直轴，故定子绕组和交轴阻尼绕组之间互感系数为,(7-14),电感系数MSR表达式为：,电感系数LRR表达式为：,(7-13),由此可见，在磁链方程中许多电感系数都随转子 角进行周期变化。转子角 又是时间的函数，因此自感系数和互感系数也将

11、随时间而进行周期变化。,若将同步发电机磁链方程代入电压方程，则电压方程将成为一组以时间周期函数作为系数的微分方程，对于变系数微分方程无法直接用拉氏变换求解。为了解决这个问题，美国工程师派克（Park）于1929年提出了一种坐标变换方法，将a、b、c坐标系统的量转换为另一个坐标系统上的量。将变系数的微分方程变换成常系数微分方程，然后求解，即为“派克变换”。由于“派克变换”是将a、b、c坐标系统的量转换为d轴、q轴和0轴的坐标系统的量，因此也称为“d-q-0模型”。,式中F可为电流i、电压u或磁链 ，为变换矩阵，定义为,7.2派克变换,从数学上看，派克变换是一种坐标变换，它将定子电流、电压和磁链的

12、a、b、c三相分量，通过同一线性坐标变换矩阵，分别变换成d、q、0三个分量，既将a、b、c三个坐标变换成d、q、0三个坐标。 派克变换可将在空间静止不动的定子a-b-c坐标中的量变换到与转子一起旋转的d-q-0坐标上的量。既,(5-1),P为非奇异矩阵，其逆矩阵为,则有,（7-16）,（7-17）,（7-18）,分别代表电流、电压或磁链，如下式：,；,，,在电机学中分析凸极电机中电枢磁势对旋转磁场作用时，一般采用双反应理论把电枢磁场分为直轴分量和交轴分量。电机在转子的直轴方向和交轴方向的磁路的磁阻都是常数，这就避免了在同步电机的稳态分析中出现的变参数问题。同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，

13、转速恒定，对于转子相对静止。它可以用一个以同步转速旋转的矢量在电机学中分析凸极电机中电枢磁势对旋转磁场作用时，一般采用双反应理论把电枢磁场分为直轴分量和交轴分量。电机在转子的直轴方向和交轴方向的磁路的磁阻都是常数，这就避免了在同步电机的稳态分析中出现的变参数问题。,与,、,同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，对于转子相对静止。它可以用一个以同步转速旋转的矢量表示。如果定子电流用一个同步旋转相量表示。并且与在数值上成比例，这样当在静止的abc坐标轴上的投影即为对称的三相正序电流、和瞬时值。如图7-6所示。取电流相量正方向与电枢磁势正方向一致。,下面以三相电流ia、ib、ic为例来分析

14、dq0坐标变换的具体过程。首先依照电枢磁势的分解方法，可以把电流相量分解为直轴分量 和交轴分量 。令表示电流相量同a相绕组轴线的夹角，则有,定子三相电流的瞬时值则为:,（7-19）,（7-20）,上两式中“-”符号均源于定子绕组磁链的正向规定及取通用电流相量Im的正方向与定子磁链Fa正向一致。利用三角恒等式即可从公式（7-19）和公式（7-20）得到,图7-6 定子电流通用相量在两种坐标系统上的投影关系,通过这种变换将三相电流ia、ib、ic变换成了等效的两相电流和。可以设想，这两个电流是定子的两个等效绕组dd和qq中的电流。这组等效的定子绕组dd和qq不像实际的a、b、c三相绕组那样在空间静

15、止不动，而是随着转子一起旋转。等效绕组中的电流产生的磁势对转子相对静止，它所遇到的磁路磁阻恒定不变，相应的电感系数也就变为常数了。 当定子三相电流构成不平衡系统时，三相电流是三个独立的变量，仅用两个新变量（d轴分量和q轴分量）不足以代表原来的三个变量。为此，需要增选第三个新变量i0，其值为,我们称i0为定子电流的零轴分量。,由公式(7-15)和(7-16)完成了一个从a、b、c坐标系统到d、q、0坐标系统的变换，可用矩阵写成为,或简写为,显然，式（7-24）中的P与式（7-16）相同，式中矩阵P称为变换矩阵，为非奇异矩阵，因此存在逆阵P-1，即,利用逆变换可得,7.2.1变换表示的同步发电机方

16、程,1.电压方程的变换同步发电机原始电压方程为,全式左乘变换矩阵,，其中,为33单位矩阵，便可得到,（7-27）,（7-28）,由于 ，分别在两端求取对时间的导数，便有,由此可得,式中,（7-29）,这样，便得到用d、q、0轴分量表示的电压方程,又可以表示为：,（7-30）,同原来的方程（7-28）比较，可以看出，dd和qq绕组中的电势都包含了两个分量，一个是磁链对时间的导数，另一个是磁链同转速的乘积。前者称为变压器电势，后者称为发电机电势。前者在稳态运行时为零，仅在暂态过程中存在；而后者只要发电机转子中有磁链和以速度旋转就存在。,2.磁链方程的,变换 同步发电机原始磁链方程为,（7-32）,

17、（7-31）,通过矩阵运算可得:,通过矩阵运算可得:,将上述各表达式代入磁链方程（7-32），便得到变换到d、q、0坐标系统的磁链方程,（7-34）,可以看到，方程中的各项电感系数都变为常数了。因为定子三相绕组已被假想的等效绕组dd和qq所代替，这两个绕组的轴线总是分别与d轴和q轴一致的，而d轴向和q轴向的磁导系数是与转子位置无关的，因此磁链与电流的关系（电感系数）自然亦与转角 无关。,公式（7-34）中的Ld和Lq分别是定子的等效绕组dd和qq的电感系数，称为直轴同步电感和交轴同步电感。当转子各绕组开路（即if=0，iD=0，iQ=0），定子通以三相对称电流，且电流的通用相量同d轴重叠时，i

18、q=0，气隙中仅存在直轴磁场，定子任一相绕组的磁链和电流的比值为,（7-35）,它就是直轴同步电感系数。由于磁链 包含了另外两相绕组电流所产生的互感磁链，因而Ld是一种一相等值电感。同对Ld应的电抗就是直轴同步电抗Xd。如果定子电流的通用相量同q轴重叠，则有id=0，气隙中仅存在交轴磁场，定子任一相绕组的磁链和电流的比值便是交轴同步电感系数，即,（7-36）,同电感系数Ld对应的电抗就是交轴同步电抗Xq。 当转子各绕组开路，定子通以三相零轴电流时，定子任一相绕组（计及另两相的互感）的电感系数就是零轴电感系数L0。,习惯上常将d、q、0系统中的电势方程和磁链方程合称为同步发电机的基本方程，亦称派

19、克方程。这组方程比较精确地描述了同步电机内部的电磁过程，它是同步发电机（也是电力系统）暂态分析的基础。派克变换后方程式（7-34）与原始磁链方程式（7-3）相比，变换后磁链方程中的电感系数变为常数，解决了电感时变问题。,7.2.2 标幺制表示的派克变换,前面分析了同步发电机的电磁关系，并建立了以实际值为基础的电压、磁链基本方程式。必须指出，式（7-34）右端的系数矩阵变得不对称了。即定子等效绕组与转子等效绕组间的互感系数不能互易，从数学上讲，这时由于所采用的变换矩阵不是正交矩阵的缘故。在物理意义上讲，定子对转子的互感中出现系数3/2,这是因为定子三相合成磁动势的幅值为单相磁动势的3/2倍。,7

20、.2.2 标幺制表示的派克变换,派克变换后的电压、磁链基本方程式，在方程中出现了不对称现象，为消除这一现象，可以采用标幺制。通过对定子侧和转子侧各量基准值合理选取，消除系数矩阵的不对称。经过上述处理，使派克变换后磁链方程中不再出现系数，从而消除了系数矩阵的不对称现象。在电力系统暂态分析计算中，为了简化计算过程，通常采用标幺制的形式，而合理选择基准值可以简化同步发电机的派克方程式，从而简化同步发电机数学模型的建立过程，为以后的应用分析奠定良好的基础。,1.定子基准值的选取 分析暂态过程，需要分析计算相电压、相电流和功率的瞬时值。使用标幺制时要选定相应基准值。根据三相瞬时功率的基准值与稳态三相功率

21、基准值相同；相电压瞬时值的基准值选取相电压有效值基准值的 倍，即,相电流瞬时值基准值选取电流有效值基准值的倍，即,阻抗基准值为,与稳态分析所用的基准值相同。三相功率基准值用、表示时为,选定其他量标幺值，其基准值之间的关系为：,时间的基准值为 ，即基准角速度转过一个弧度所需的时间。,2.转子基准值的选取 转子侧基准值选择的关键在于怎样确定转子和定子绕组各电磁量基准值之间的关系。转子方面的阻尼绕组本身就是一种等效绕组，假定它的匝数与励磁绕组匝数相同，则对阻尼绕组可以选取与励磁绕组相同的基准值。而确定励磁绕组基准值的方法很多，在此以等效方法为例说明转子基准值的选取过程。,首先将同步发电机看作一个等效

22、变压器，设W和Wf分别为定子一相绕组和励磁绕组的匝数，则匝数比kaf=W/Wf为。转子基准电流ifB产生的磁势应同幅值为的定子三相对称电流产生的磁势相等，即 。定子和转子绕组作为磁耦合电路，应有相同的功率基准值和时间基准值，于是有 ，由此可得励磁绕组电压的基准值为 ，磁链的基准值为：,按同样地原则可确定转子励磁绕组的自感基准值和它与定子的互感的基准值之间的关系为,其他各基准值之间的关系为:,直轴与交轴阻尼绕组各基准值的选择与励磁绕组相同，各基准值之间的关系如下,励磁绕组与直轴阻尼绕组之间的互感的基准值如下：,确定了基准值后，就可以推导标幺制的派克方程了。,3.电压、磁链方程的标幺制表示形式 按

23、上述方法选出的基准值，使磁链方程中转子对定子和定子对转子的互感系数在标幺制的计算过程中变为相等了，从而可以简化同步发电机暂态运行的分析。 经过变换后的电压方程和磁链方程均用标幺值表示，为书写方便，略去标幺值下标符号“ ”；并且在标幺制中, (发电机以同步转速 旋转，则 )；又因为采用公共磁链假设，认定只存在同时和d轴的三个绕组d、f和D绕组都交链的公共磁通，故有； 同理对q轴有 。这样，同步发电机的通用基本方程为,这样，同步发电机的通用基本方程表示如下,（7-37）,三相对称时 ， ，从而， 。于是同步电机基本方程可以简化为：,（7-37）,（7-38）,（7-39）,7.3 同步发电机的稳态

24、运行,同步发电机的基本方程是分析各种运行状态下发电机工作情况的重要工具，特别是在暂态分析中起到举足轻重的作用，这点将在故障分析的内容中进行全面具体的讲述，本节主要研究同步发电机基本方程在稳态运行分析中的应用。,同步发电机稳态运行时，转差率为零，定子三相电压、电流、磁链对称，励磁电流为常数，阻尼绕组中的电流为零，所以在dq0坐标系统中，ud、uq、 、 为常数，iD、iQ均为零。,7.3 同步发电机的稳态运行,7.3.1 同步发电机空载运行,空载运行时定子三相绕组均没有电流，id=iq=i0=0，由此可知定子磁链 ， （用 表示）。定子三相磁链方程为：,式中,定子三相空载磁链可用综合相量 表示，

25、如图7-7所示，它于d轴重合。定子电压由方程（7-30）及上述空载条件可得ud=0， ，u0=0，则根据派克变换得到定子三相电压等于三相电动势，可表示为：,式中 为同步发电机空载电势，由于同步运行时， 所以有。三相电势可以用综合相量 表示，它与a轴相角差为 ，正好与q轴重合，见图7-7所示。,图7-7同步发电机空载相量图,7.3.2 同步发电机有载运行,设同步发电机带有三相对称感性负载，功率因数为 （滞后），各相电势、端电压和电流（以a相为例说明）为,式中 称为功率角，是Eq和U的相角差。 将电压、电流代入坐标变换可得：,（7-44）,（7-45）,（7-43）,都是常数，是相量 、,在 、,

26、式中,、,轴的分量，如图7-8所示，这些稳态值以下用大写字母表示。,稳态时派克方程为,图7-8同步发电机稳态运行相量图,（7-46）,（7-47）,根据电压、磁链的派克方程可以将稳态时定子电压、电流方程表示为,由于rxd，rxq，一般计算可取r=0，则式（7-49）变为,（7-49）,（7-48）,（7-50）,将式（7-48）写成相量形式为：,（7-51）,将式（7-51）中两式相加可得,对于凸极机，由于xd=xq，所以稳态运行时，必须用直轴和交轴方向的两个等值电路表示，如图7-9所示。对于隐极机xd=xq，则有：,图7-9凸极机的等值电路a)直轴方向；b)交轴向,（7-52）,对应的等值的

27、路如图7-10所示。对于凸极机可以参照隐极机的等值的路，将发电机电动势用某一电抗后电动势表示，此电动势是一个虚构的电动势。为此，将式（7-52）改写为,按式（7-54）关系，可以画出凸极机隐极化后的等值电路。如图7-11所示。,图7-10隐极机等值电路,图7-11凸极机隐极化等值电路,则得：,【例7-1】已知同步发电机的参数为xd=1.0、xq=0.6、 ，试求在额定运行时的电动势 和 。解：根据已知条件，用标幺值计算，额定满载运行时， U=1.0、I=1.0。,设 ， ， ，所以有 ，作出发电机稳态运行相量图如图7-12所示。根据相量图的关系可得,则 。计算空载电动势为,图7-12,根据相量图的关系可得,本章作业,7-1、7-37-57-6,第7章内容结束，再见,第7章内容结束，再见,