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1、1,高等数学,第十五讲,2,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,3,曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,截柱体对应薄片的体积：,4,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,5,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,6,计算二重积分的步骤：,一、 画积分域 D,二、选择积分次序,三、定积分限,四、计算,若D为 X 型区域,若D为Y 型区域,左右夹，从下向上穿,上下夹，从左向右穿,计算二重积分的基本思
2、想,将其化成两次定积分来计算。,定内限域中一线穿,定外限域边两线夹（是常数）,7,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,8,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,9,例2. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:,10,例3. 计算,解:,11,例4. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 求交点,及直线,则,为计算简便, 先对 x 后
3、对 y 积分,12,注：本题计算中若先对,后对,积分：,由于,的原函数不能用初等函数来表示，则本题,只能采用先对,后对,积分。,例5 计算,其中 D 是由直线,所围成。,13,例6 计算,其中 D 是由直线,所围成。,解：画域,14,例7 计算,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,15,交换二次积分的积分次序的步骤：,1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示,区域D，并画出D的图形。,2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示，,以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次,积分化成另一种二次积分。,16,例8. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为
4、Y型区域 , 则,17,例9 计算,解: 先画D域,由:,将D域分为D1和D2,18,例10 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,19,二、利用极坐标计算二重积分,换元积分法是计算定积分的一种常用的方法，,在计算重积分中有类似的换元法。,一种换元法就是,本节所介绍的,极坐标。,将二重积分的,从直角坐标换为,积分变量,20,解：先求曲线的交点,引例：计算,21,极坐标：,若将直角坐标系中的原点取为极点，,轴的正半轴取为极轴。,设直角坐标系中点,的坐标,极坐标系中点,的坐标,称为极坐标的极径。,称为
5、极坐标的极角。,二重积分中被积函数,把,由极轴出发逆时针方向为正。,两坐标系中变量间关系：,22,求极坐标下的积分元素,在极坐标系下, 用射线 =常数,则除包含边界点的小区域外,及同心圆 r =常数,的表示方法。,小区域的面积由图可知：,分划区域D 为,23,极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角,则,特别, 对,坐标系中的方法。,设：,24,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,问 的变化范围是什么?,(1),(2),25,例1：将,化成极坐标下的二次积分。,26,例1：将,化成极坐标下的二次积分。,27,3.,例1：将,化成极坐标下的二次积分。,28,4.,
6、例1：将,化成极坐标下的二次积分。,29,由极坐标计算引例：,引例：计算,解：求曲线的交点,30,例2. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,31,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程,上非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例2的结果, 得,故式成立 .,32,例3. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,33,例4. 计算二重积分,其中D为,解: 利用极坐标.,34,解,例5,35,例6：计算,解： 先画D域（分析D域在第一象限）,36,例7. 计算二重积分,其中,D为圆
7、域,解: 利用对称性.,37,解：积分域是圆域，关于x,y轴 对称,例8.,38,其中D 是由曲线,所围成的平面域 .,例9. 计算,与,解,和被积函数的奇偶性,利用积分区域的对称性,2004 考研,D,39,例10.,求由曲面,柱面,以及平面,解：该立体向xoy面作投影，投影区域D：,所围的立体的体积。,40,例11. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,41,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,42,则,极坐标系情形: 若积分区域为,43,(2) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,（两边夹，一线穿）,44,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,45,例9. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,
