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1、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第三十八讲,2,常系数非齐次线性微分方程,第八节,二、,第七章,一、,三、,3,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,4,一、,特征方程,令：,令：,令：,其中,是 x 的 m多项式,5,例1.,的通解.,解: 先求Y,特征方程为,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,对应齐次方程的通解为：,再求 y*,通解为,6,例2：,的通解。,解: 先求Y,特征方程为,设所求特解为,对应齐次方程的通解为：,
2、再求 y*,代入方程整理得 :,矛盾！,问题是 y* 所设，本题与例1的区别在于题中缺 y 项。,设,7,将,代入原方程,于是所求特解为,通解为,若有初始条件,求特解,将初始条件代入整理得,特解为,比较系数, 得,8,例3：,的通解。,解: 先求Y,特征方程为,设所求特解为,代入方程 :,于是所求特解为,再求 y*,通解为,9,例4. 求解定解问题,解:,本题特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,原方程通解为,由初始条件得,解得,10,于是所求解为,原方程通解为,解得,例4. 求解定解问题,11,二、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若
3、 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,12,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,13,例1：,的通解。,解: 先求Y,特征方程为,设所求特解为,代入方程比较系数, 得:,于是所求特解为,再求 y*,通解为,14,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,特解为,代入方程比较系数, 得,所求通解为,若设非
4、齐次方程特解为,代入方程比较系数, 得,矛盾,15,例3. 求方程,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,比较系数 , 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,16,例4：求满足,且在原点处与直线,相切的曲线表达式。,解:,特征方程为,设所求特解为,代入方程整理得,比较系数, 得,于是所求特解为,再求 y*,通解为,17,由题意可得初始条件：,代入,代入,所求曲线方程为：,18,例5： 求,一个特解。,解：,设,代入方程,可见 通解:,19,三、,具有如下形式的特解,其中 a , b 为待定系数。,k 的取法规则是：,取,取,对应齐次方程的特征方程,的特征根,上述结论也
5、可推广到高阶方程的情形.,可以证明,20,例1.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的根 ,因此设非齐次方程特解为,21,例2 求微分方程,的通解。,特征方程,特征根,设,将,代入原方程，,整理后并约去非零因式,解,22,比较两端的同类项系数，得,方程的特解,方程的通解,得,23,例3 求下列微分方程的通解,特征根:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,原方程通解为,解,特征方程,24,例4.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,25,解,特征方程,设原方程的特解为,例5,原方程分为,26,故原方程的通解为,由,
6、即,例5,27,例6 求,的通解。,解：,由,由,设,代入上式整理得：,通解：,28,例7.,的一个特解 .,解: 本题特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,29,30,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,31,作业,P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 6,32,例6. 求微分方程,的通解。,(其中 为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,33,例10,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,
